北京市东城区2014-2015年度高一上学期期末考试数学试题附解析.docVIP

北京市东城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 若集合，则＝ A. B. C. D. 2. 已知，则角是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 下列函数中，在区间上为增函数的是 A. B. C. D. 4. 15°＋2sin15°·cos15°的值为 A. B. C. D. 5. 若函数，且）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 6. 设，则 A. B. C. D. 7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 8. 设函数，若，且，则 A. B. C. D. 9. 已知函数，则的值为 A. －5 B. －1 C. 3 D. 4 10. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间。例如，当时，。现有如下结论： ①设函数的定义域为D，若对于任何实数b，存在，使得，则； ②若函数，则有最大值和最小值； ③若函数，的定义域相同，且，则； ④若函数＝有最大值，则。 其中正确的是 A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11. 已知全集，集合，那么＝___________。 12. 已知，则的值是___________。 13. 求值：＝___________。 14. 若，则＝___________。 15. 函数的单调递减区间是___________。 16. 对于任意两个实数，定义若，，则的最小值为___________。 三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本题满分10分） 已知集合，，且，求实数m的值组成的集合。 18.（本题满分10分） 已知函数。 （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 19.（本题满分9分） 已知函数＝，其中e是自然对数的底数。 （Ⅰ）证明：是R上的偶函数； （Ⅱ）判断在上的单调性，并证明。 20.（本题满分9分） 如图，半径为4m的水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上的点P从离开水面的时刻（P0）起开始计算时间。 （Ⅰ）求点P到水面的距离与时间满足的函数关系； （Ⅱ）求点P第一次到达最高点需要的时间。 21.（本题满分8分） 已知函数。 （Ⅰ）若函数的图象与x轴无交点，求a的取值范围； （Ⅱ）若函数在上存在零点，求a的取值范围； （Ⅲ）设函数。当时，若对任意的，总存在，使得，求b的取值范围。 【试题答案】 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1. B 2. D 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11. 12. 13. 14. 15. 16. －1 三、解答题：本大题共5个小题，共46分。 17.（本题满分10分） 解：A＝， 2分 因为，所以。 5分 当时，因为，所以。故。 7分 当时，由，得或。 9分 所以，实数m的值组成的集合是。 10分 18.（本题满分10分） 解：（Ⅰ）因为 。 4分 所以的最小正周期为。 6分 （Ⅱ）因为，所以。 于是，当时，取得最大值2； 当，即时，取得最小值－1。 10分 19.（本题满分9分） 解：（Ⅰ）因为函数的定义域是R，且， 所以是偶函数。 3分 （Ⅱ）在上是单调递增函数。 设，则 。 由，得，所以。 又由得，所以，所以。 所以，，即。 所以，在上是单调递增函数。 9分 20.（本题满分9分） 解：（Ⅰ）以O为原点建立如图所示的直角坐标系。由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离与时间满足函数关系 。 3分 因为水轮每分钟旋转4圈， 所以，所以。 因为水轮半径为4m，所以A＝4。 所以，。 当时，。所以。 所以。 6分 （Ⅱ）由于最高点距离水面的距离为6，所以。所以＝1。 所以。所以。 所以当时，即时，点P第一次达到最高点。 9分 21.（本题满分8分） 解：（Ⅰ）若函数的图象与x轴无交点，则方程的判别式， 即，解