《状元之路》2016年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分46立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直.docVIP

开卷速查(四十六)　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 A级　基础巩固练 1．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证： (1)EF∥平面PAB； (2)平面PAD⊥平面PDC. 证明：(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， ∴E，F， ＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)， ＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)， ＝(1,0,0)． ∵＝－，∴∥，即EF∥AB， 又AB?平面PAB，EF?平面PAB， ∴EF∥平面PAB. (2)∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， ·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， ∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC. 又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD. ∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. 2．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证： (1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 证明：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE. 则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)． ∴＝. 又点A，M的坐标分别是(，，0)，， ∴＝. ∴＝且NE与AM不共线． ∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝， ∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)． ∴·＝0.∴⊥. 同理可证⊥. 又DF∩BF＝F，DF，BF?平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. B级　能力提升练 3．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 解析：(1)证明：如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)设G(x,0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB，则 由·＝·(a,0,0) ＝a ＝0， 得x＝； 由·＝·(0，－a，a) ＝＋a ＝0， 得z＝0. ∴G点坐标为，即G点为AD的中点． 4．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论． 解析：(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC. ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 从而AC⊥平面BDE. (2)∵DA，DC，DE两两垂直， ∴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示． ∵BE与平面ABCD所成角为60°， 即∠DBE＝60°，∴＝. ∵正方形ABCD的边长为3， ∴BD＝3，∴DE＝3，AF＝. 则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)． ∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)． 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4,2，)． 点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)， 则＝(t－3，t,0)． ∵AM∥平面BEF，∴·n＝0. 即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2. 此时，点M为(2,2,0)，BM＝BD，符合题意．