2013年高考真题——文科数学[北京卷]附解析.docVIP

绝密★启用并使用完毕 2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（文） 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （ ） （A） （B） （C） （D） （2）设，且，则（ ） （A） （B） （C） （D） （3）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） （A） (B) （C） (D) （4）在复平面内，复数对应的点位于（ ） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 （5）在中，，，，则（ ） （A） （B） （C） （D） （6）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A） （B） （C） （D） （7）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ） （A） （B）（C） （D）（）如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有（ ） （A）个 （B）个 （C）个 （D）个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6题，每小题5分，共30分。 （9）若抛物线的焦点坐标为，则____；准线方程为_____。 （）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________（）若等比数列满足，，则公比__________;前项_____。 （）设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为__。 （）函数的值域为_________。 （14）已知点，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为__________。 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期及最大值（Ⅱ），且，求的值。 (16)(本小题共13分) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月1日中的某一天到达该市，并停留2天。 （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分） 如图，在四棱锥中，，，平面底面，和分别是和的中点，求证： （Ⅰ）底面（Ⅱ）平面（Ⅲ）平面平面 （18）（本小题共13分） 已知函数（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求与的值。 （Ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。 （19）（本小题共14分） 直线与椭圆相交，两点，为坐标。 （Ⅰ）当点的为，且四边形为菱形时，求的长； （Ⅱ）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形。 （20）（本小题共13分） 给定数列。对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，（Ⅰ）设数列为，，，，写出，，的值（Ⅱ）设是公比大于的等比数列，且证明：是等比数列。 （Ⅲ）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列。