(公用)初三数学中考中的数形结合思想通用版.docVIP

初三数学中考中的数形结合思想通用版 【本讲主要内容】 中考中的数形结合思想 包括借助于直角坐标系研究数的关系，借助于数研究形的特征，从而简化计算。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 建立直角坐标系后，平面上的点和一对有序实数建立了一一对应关系，从而为数形结合创造了条件。 2. 通过形加深对数的理解，通过数加深对形的认识，数形结合，化难为易。 【解题方法指导】 例1. 如果直线经过一、二、四象限，则有（ ） A. k0，b0 B. k0，b0 C. k0，b0 D. k0，b0 分析：由于一次函数的图象经过第一、二、四象限，可画出它的示意图，由图象的倾斜方向及它与y轴交点的位置，确定k、b的范围。 解：∵的图象经过一、二、四象限 ∴可以画出它的示意图（如图所示） 由图象看出，图象由左上方向右下方倾斜 ∴k0 又与y轴交点在x轴上方 ∴b0 ∴选D 评析：画出直线的示意图，从而使它的倾斜方向及与y轴交点的纵坐标清晰反映出来，由形的特征反映出了k、b的特征。 例2. 若点A（a，b）在第二象限，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 分析：∵点A（a，b）在第二象限，∴a0，b0，所以可画出y＝ax＋b的示意图，看出它经过哪三个象限，不经过第几象限。 解：∵点A（a，b）在第二象限 ∴a0，b0 ∴一次函数与y轴交点在x轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由图象看出它不经过第三象限 故选C 评析：由y＝kx＋b中k、b的特征，决定了图象的特征，画出示意图，使问题得解，体现了数形结合的思想在研究一次函数中的应用。 例3. （2004年天津）已知二次函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 分析：由a0，可知抛物线开口方向向下；由，可知当时，抛物线与y轴交点位于x轴上方，通过画示意图可看出它与x轴交点的个数，从而确定判别式的值。 解：对于 ∵a0，∴抛物线的开口向下 当时， 由可知抛物线与y轴的交点在x轴上方 可画出抛物线的示意图 由图象看出抛物线与x轴有两个交点 令y＝0，得有两个不相等的实数根 ∴ 故选A 评析：由数的特征a0，，决定了抛物线的开口方向及与y轴交点的坐标，从而为画抛物线的示意图作好准备，又由抛物线与x轴交点的个数，求出一元二次方程判别式的符号，此题解题过程体现了数→形→数的数形结合思想。 例4. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若A点与原点重合，AB边与x轴重合，求矩形ABCD四个顶点的坐标。 分析：题目中只说A点与原点重合，AB边与x轴重合，而没有指明它位于第几象限，因此应画出图象，分别加以考虑。 解：若矩形ABCD在第一象限（如图），则它的顶点的坐标分别为： A（0，0），B（4，0），C（4，3），D（0，3） 若矩形ABCD在第二象限，则它的顶点的坐标分别为： A（0，0），B（－4，0），C（－4，3），D（0，3） 若矩形ABCD在第三象限，则它的顶点的坐标分别为： A（0，0），B（－4，0），C（－4，－3），D（0，－3） 若矩形ABCD在第四象限，则它的顶点的坐标分别为： A（0，0），B（4，0），C（4，－3），D（0，－3） 评析：结合图象所在的象限画出图形，然后再确定点的坐标不易出错。 【考点突破】 【考点指要】 数形结合思想是一种重要的数学思想，由于数和形反映了事物的两个侧面，因此常常借助于形研究数，借助于数研究形，从而通过“数形联手”解决问题相得益彰。正如华罗庚教授所指出的那样：数无形，少直观；形无数，难入微。 正因为数形结合在解题中的重要性，因此中考试题中常常以各种各样的形式反映出它们之间的联系。我们应不断提高对数形结合的认识，提高解题能力。 【典型例题分析】 例1. 已知：关于x的方程的两个根满足。 求a的取值范围。 分析：如果用纯代数的方法去解，要考虑的因素较多。如a0，△0，，等，解法较繁。 如果将一元二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结合的思想去思考，通过图象比较直观地求出a的取值范围。 解：将方程化为 设 画出它的示意图，可以看出： 当时，y0； 当x＝3时，y0。 分别将x＝1，x＝3代入到中，得 ∴ 因此a的取值范围为： 评析：此题借助于数形结合的方法，由开口方向，和x轴交点的位置，不难画出抛物线的示意图，结合图象不难看出当x＝1时，及x＝3时y的正负，从而求出a的取值范围。