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第6章 基于状态空间模型的最优设计方法 （3）根据这 n 个特征向量组成如下的 矩阵： （2） 其中 P1 和 P2 均为 的分块矩阵。 若 e 是一个实特征向量，则 e 是 P 中的一个列向量； 若e 和 是一对共轭特征向量，则分别取 和 为 P 的两个 列向量。 （4）计算 （3） 算法2（ ）： （1）对状态方程及性能指标函数进行转换： 设离散状态方程和性能指标函数为： （4） （5） 令 （6） 将（6）式代入（4）（5）式并整理，得到 （7） （8） 其中 （9） （2）利用 算法1 求得： （10） （3）求得稳态控制规律 L ： （11） 将（6）代入（11）式，得到： 其中 （12） （13） 二、加权矩阵的选择 说明：加权阵的选择是一个不断试凑的过程，没有满意的解决方法。 一个经验规则： （1）性能指标为： （14） 连续： 离散： （15） 其中 为加权系数，用来调整整个状态量和控制量之间的加权。 （2）取 Q1 和 分别为如下形式的对角阵： （16） 取 （17） 其中 （18） （19） （3）如果某些状态没有什么限制，则可取 中所对应的参数项为 0。 例：已知系统的状态方程为 其中 采样周期 T=0.2，x10 = x20 =1，x3 无限制；u10=1，u20=10。 采用式（14）的连续性能指标函数，选择加权阵并计算最优控制。 设计：选择 取 应用最优控制规律计算算法，得到 分析： 的作用： 根据 （1）若 则有 （2）若 则有 （一）由上述 时： 一般来说，控制量最大值发生在 t=0 时刻，因此 （二）由上述 时，有 当 x(0) 分别取 有 可见，通过适当地调整 ，可使得所设计的系统尽可能接近实际 系统的性能要求。 设控制对象模型为： （1） 假设 和 为高斯白噪声序列，且有 第三节 状态最优估计 一、Kalman 滤波公式的推导 其中 为过程干扰向量， 为测量噪声向量。 （2） （3） 其中 （4） 为 Kronecker 函数。 设 V 为非负定对称阵，W 为正定对称阵，并设 和 不相关。 问题： （1）若 不是白噪声，但具有有理的功率频谱密度函数，可将其 看作白噪声驱动的动态环节的输出，通过增广矩阵的方法将控 制对象连同噪声驱动模型一起化成（1）式所示的标准模型形式。 （2）若 和 有关联，则在下面的推广的 Kalman 滤波问题中介绍。 由式（1）可知， 为随机的干扰量， 为随机的测量噪声量，因此 x(k)也为随机向量。要解决的问题是：根据量测量 y(k) 估计出 x(k)，其估计量 记为 。 设状态估计误差为： 其协方差阵为： （5） （6） 其中 P(k) 为非负定对称阵。 根据 y(k) 估计出 x(k)的准则： 根据量测量 y(k), y(k-1), … ，最优地估计出 ，以使 P(k) 极小， 这样的估计称为最小方差估计。 根据最优估计理论，最小方差估计为： 即 x(k) 的最小方差估计 等于在给定的直到 k 时刻的所有量测量 y 的 情况下 x(k) 的条件期望。 （7） 其一步预报为： （8） 从而一步预报估计误差为： （9） 一步估计误差的协方差阵为： （10） * * 基于状态空间模型设计控制系统方法： 1、极点配置方法-----性能指标为闭环系统的极点，考虑的是 确定性模型。 2、最优设计方法-----性能指标为二次型性能函数，考虑的是 随机性模型。 共同点：控制器具有相同的结构形式，即观测器（或估计器） 加状态反馈。 D(z) G(z) r(k) y(k) 图 1 u(k) 1、 ，为调节系统 2、 ，为跟踪系统 首先研究调节系统，然