电动力学静电场标势微分方程.ppt

第二章 静电场 第一节 静电场的标势及其微分方程 * 本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。 静电场标势微分方程 唯一性定理 分离变量法 镜像法 格林函数法 电多级矩 本章具体内容： 在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为 这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。 静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。 一、静电场的标势 把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为 这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势φ下降。由此 由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令?(?)=0有 无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即 设C1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此 电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。 相距为dl的两点的电势差 由于 因此，电场强度E等于电势φ的负梯度 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。 点电荷Q激发的电场强度 其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为 一组点电荷Qi激发的电势 若电荷连续分布，电荷密度为ρ，设r为源点x到场点x的距离，则场点x处的电势为 二、静电势的微分方程和边值关系 均匀各向同性线性介质 代入 其中ρ为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势φ的解。 得泊松方程 通过转换获得两介质界面上电势φ必须满足边值关系 法向电场不连续 电荷沿法线方向移动, 切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零） 导体的特殊性 1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 2、导体内部电场为零； 3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率为ε，导体表面的边界条件为 三、静电场能量 由E=-??和??D=?得 因此 式中右边第二项散度体积分化为面积分 所以 例1 求均匀电场E0的电势。 均匀电场每一点强度E0相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么任一点P处的电势为 解