焊接数值模拟研讨.ppt

2-5不稳定导热的有限元解法二维热传导 3、区域离散化 将一个矩形区域，划分成多个直角三角形。 设直角边长为h，(?x =?y=h) 节点x=rh,y=sh (r, s为正整数) 此节点记为(r,s)，（相当于（x,y）点） 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 4、温度差值函数的建立 对于三角形单元 T=f(Ti,Tj,Tm) T=NiTi+NjTj+NmTm 5、单元变分的计算 将求解区域分成有限个单元后，泛函I(T)变成各个单元内泛函的积分。 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 5、单元变分 2-5不稳定导热的有限元解法二维热传导 （5、单元变分） 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 5、单元变分 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 5、单元变分 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 5、单元变分 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 5、单元变分 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 在时间上采用向前差分： 6、总体合成 i= 1, 2, 3, ……n 上式包含若干线性方程组。对于每一个方程来说，都是对所有 单元求和而成。现以i(r,s)为例，进行求解。 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 i(r,s)点涉及六个单元Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ，所以 其它单元中不含有节点i(r,s)，它们的泛函对Ti变分后都等于0。 实际上只涉及上述六个单元。 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 2-5不稳定导热的有限元解法/二维热传导 6、总体合成 三、建立内节点差分方程 若?x= ?y，则： 四、边界节点差分方程/热平衡法 基本思想：将能量守恒原则应用到每个单元体，不再从微分方程入手，而是将导热的基本定律直接近似。 四、边界节点差分方程 绝热 给定热流密度 对流边界 给定温度 辐射 混合 四、边界节点差分方程 1、绝热边界 相邻单元体流入（i,j）单元体的热量： 四、边界节点差分方程 2、给定热流密度qr的边界 相邻单元体流入（i,j）单元体的热量： 四、边界节点差分方程 3、对流边界 已知对流放热系数?c及周围介质温度Tf 四、边界节点差分方程 4、给定温度边界 5、辐射边界 7、混合边界 差分法：以差分代替微分，对基本方程离散，建立以节点参数为未知量的线性方程组，而求得近似解。 优点：线性方程组的计算格式比较简单 不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：对连续体本身进行离散，根据变分原理求解问题 优点：适合于各种复杂形状和复杂边界条件的数值计算 不足：计算过程复杂 2-5不稳定导热的有限元解法数学基础 2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 1、变分方法 研究泛函的极大值和极小值的方法 1）泛函定义 给定两点1和2，连接这两点曲线的长度: 这样就建立了一个函数关系： I=I[y(x)]，称I是y(x)的泛函。自变量是个函数，因变量是普通变量。 2）、泛函和函数 2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 函数 f(x) 泛函 I[y(x)] 变量 f 变量 I 自变量 x 函数 y(x) x的增量 ?x y(x)的变分 ?y 函数的微分df df 泛函的变分 ?I 2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 3）、泛函和变分 研究泛函极值的方法就是变分法。 函数f=f(x） 泛函I=I[y(x)] 如果对于变量x的某一域中的每一个x, f 都有一值与之对应，则变量f叫做x的函数，记为f(x） 如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x), I 都有一值与之对应，则变量I叫做依赖于函数y(x)的泛函，记为I[y(x)] 如果对于x的微小改变，有函数f(x)的微小改变与之对应，则函数f(x)是连续的。 如果对于y(x)的微小改变，有泛函的微小改变与之对应，则泛函I[y(x)]是连续的。 如果可微函数f(x)的内点x=x0处达到极大或极小值，则在这点df=0 如果变分的泛函I[y(x)]的内点y=y0 (x)处达到极大或极小值，则在这点?I=0 2-5不稳定导热的有限元解法一、数学基础 2、差值函数 线性差值：求过曲线y(x)上已知点A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直线方程： 3、形函数 形函数只和单元的形状、节点配置区间大小和差值方式有关，而和节点未知量无关，故统称