复变函数：复数与复变函数.ppt

1.3.3 反函数与复合函数 1.反函数 定义2 设 定义在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意 ，在 内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点 ，通过法则 ，总有确定的 与之对应，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作 ，称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射. 2.复合函数 定义3 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的 与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数. 第1章 复数与复变函数 1.4 复变函数的极限与连续性 1.4.1复变函数的极限 定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式 则称复常数 为函数 当时 的极限，记作 或 定理1 设 ， 则 的充分必要条件为: 且 复变函数的极限四则运算法则： 设 ， ，则 (1) (2) (3) 例1 试求下列函数的极限. （1） （2） 解 （1）法1 设 ，则 ，且 得 法2 （2） 设 ，则 ，得 例2 证明函数 在 时极限不存在. 证 设 ， 而 ， . 考虑二元实函数 当 沿着 （ 为任意实数）趋向于 ，即 显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知， 在 趋向于 时的极限不存在，即得结论. 1.4.2 复变函数的连续 定义5 设 在点 的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在点 处连续. 若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续. 定理2 函数 ，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续. 定理3 在 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续. 例3 求 解 因为 在点 处连续，故 例4 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点，则 当 时， 在 无定义，故 在