复变函数与积分变换洛朗级数.ppt

§4 洛朗级数 * 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法. z0 R1 R2 讨论下列形式的级数: 可将其分为两部分考虑: 只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2： 这是z 的幂级数, 设收敛半径为R： 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到： 则当|z-z0|R1时, 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛. 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例. 1 O x y 其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数: 1 O x y 定理(Laurent展开定理) 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则 C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. [证] 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间. R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 由多连通域的柯西积分公式得 R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 唯一性： 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的。 这个级数被称为 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式. 解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 ≤ |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| +? 内是处处解析的, 应把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数. x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 先把 f (z)用部分分式表示: ii) 在1 |z| 2内： iii) 在2|z|+?内: *