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第四章 动量和角动量 第四章 动量和角动量 § 4-1 动量 冲量 动量原理 例 质量为 m 的质点作速率为 v 的匀速圆周运动，t1时刻位于A点，转过 π/2 后， t2 时刻到了B点，求在这段时间内，向心力的冲量。 例1、一质点的运动轨迹如图所示，已知质点的质量为20 g，在A 、B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与x轴成45 o角，vB垂直于y 轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。 例2、 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 § 4-2 动量守恒定律 § 4-3 碰撞 § 4-4 质点对定点的角动量 角动量守恒定律 例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与x轴成45 o角，vB垂直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点上外力对0点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。 例5、在竖直平面内，一个质量为 m 的粒子从P点被释放，如图所示，试求：（1）粒子所受的重力相对于定点O的力矩，( 2 )粒子下落时，对O点的角动量，并说明结果符合角动量定理。 例6、哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆的运动，轨道的近日距离Rp为 0.885 × 1011 m，远日距离Ra为 52.5 ×1011 m 。已知在近日点处，慧星的速率vp为5.4 ×104 m/s, 计算慧星在其远日点处的速率va 。 例7、 行星以太阳为一个焦点作椭圆运动，试证明开普勒第二行星运动定律：行星对太阳的矢径在相等时间里扫过相等的面积。 解：按题义，由动量守恒定律，我们有 m1 v11 = m1 v12 + m2 v22 已知 m1 = m2 故 v11 = v12 + v22 ① 即矢量 v11、v12 和 v22 形成一个三角形， φ为 v12 和v22 的夹角， 由碰撞前后动能守恒可得另一个方程， ( 1/2)mv112 = (1/2)m v122 + (1/2)m v222 消去质量和系数得 v112 = v122 + v222 ② 综合①和②式，可知 φ = 90o 即两粒子碰撞后沿相互垂直的方向运动。 例1、设两个质量完全相等的粒子在x-y平面内发生弹性碰撞。 而且作为靶的粒子原来是静止的，试证明两粒子碰撞后的速度 互相垂直。 φ y x m1 m2 v11 v22 v12 v12 v11 v22 例2、已知子弹质量 m =0.02 kg， 木块质量 M =8.95 kg ，弹簧的倔强系数 k =100 N/m 。子弹以初速度 v0 射入木块后，弹簧被压缩10cm，求v0 的大小。（设木块与平面间的滑动摩擦系数 μ = 0.2 ，不计空气阻力。） 解： 两个物理过程：（1）子弹和木块碰撞，（2）连体压缩弹簧。 过程（1）动量守恒： （2）弹簧被压缩时受力: F = -μMg-kx ，由动能定理有： x 0 m M f = μMg f =kx v0 x 0 m M f = μMg f =kx v0 质点对定点的角动量和角动量守恒定律对解决有心力场 中质点的运动问题十分方便，同时也是下一章相关概念和定 律的基础。 设 O 为空间一定点，质量 为m 的质点某时刻位于P点，速度为v，其动量 p = mv ，质点相对于O点的位置矢为 r ，则矢径 r与质点动量 P 的矢量积定义为质点P相对于O点的角动量或动量矩，记为 L： O z L = r ×p r θ p P y x 一、质点对定点的角动量 显然，当定点0 在质点速度沿长线上时， 质点对该点角动量为零；对圆周运动而言, θ = 90o ， 故质点对圆心的角动量大小为： L = mvr 在SI制中，角动量的单位为 kg·m2/s,量纲为 ML2T-1。 角动量的大小为： L = Pr sinθ = mvr sinθ 方向为： 服从右手螺旋定则 写成矢量式： y O z L = r ×p r θ p P x 二、质点的角动量定理 对角动量定义式两边求对时间的导数得： ∵ ∴上式右边第二项为零， 有 将牛顿第二定律代入上式，得 上式右边的 r 也是力 F 的作用点相对点O的矢径，定义矢量 积为力 F 对O点的力矩，记为 M ： O z M = r ×F r φ F P y x 力矩 M 的大小为：