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　　从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 例1, 2中的 D 都是连通集. 如图 x + y = 0 x y o x y o 1 1 x2 + y2 = 1 6.开区域(开域) 设 E 是一平面点集. 　　比如, 例1中D是开区域. 如图. E 　　 从几何上看, 开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集. 若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域. 7.闭区域(闭域) 若 E 是开域, 记 称为闭区域. 如图. E 　　易见,例2中的D是闭区域. 从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集. (本书把)开区域和闭区域都叫作区域. 　　易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域. 　　8.设 E ? R2,若存在r 0,使 E ? U(O, r),则称E为有界集. 否则称E为无界集. 9.聚点 　　从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点. 　　设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E . 则称 X0 是E 的一个聚点. X0 ? 如图 　　1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点. 4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点. 即,区域中的任一点都是该区域 的聚点. 一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证. 10.孤立点 若点X0?E,且存在?0,使得邻域U(X0, ?)内除X0外, 所有点均不属于E, 即? (X0, ?)∩E = ?, 则称 X0 为 E 的孤立点. 如图. X0 显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点. 　　邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义. 设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D . 按二元函数定义, ?X = (x, y)?D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z). 三、二元函数的几何意义 　　当X 在D中变动时, 点M (x, y, z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中织出一片曲面. 　　 　　即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xy 面上的投影区域. X D M (x, y, z) y x z o 如 z = ax +by + c , 表平面. 注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的一个子集. 三元函数无几何意义. 一、二元函数的极限 §1－2 多元函数的极限与连续 回忆一元函数的极限. 设 y = f (x), 当 x 不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 表示 如图 x y A 0 f (x) f (x) y = f (x) x0 x x x ? x0 就是?? 0, ??0. 当0|x – x0| ? 时, 有|f (x) – A | ?. 设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图 D z = f (x, y) X X 　　如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A 为当X趋近于X0时f (X)的极限. M X0 A y z x o f (X) 　　类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | ? 刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离 　　设二元函数 z = f (X) = f (x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若 ?? 0, ?? 0, 当 对应的函数值满足 | f (X)– A | ? 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限. 记作 或 也可记作 f (X) ? A(X ? X0), 或, f (x, y) ? A (x ? x0, y