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《点集拓扑学》连通空间
* * 第4章 连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1 连通空间 §4.2 连通性的某些简单应用 §4.3 连通分支 §4.4 局部连通空间 §4.5 道路连通空间 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 则称子集A和B是隔离的． 定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间． §4.1 连通空间 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B= 和A∪B＝X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B= 和A∪B＝X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集． 定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间． 定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集． 定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B Y. 因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y． 则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集． *
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