动态规划基础详解(二)讲述.pptVIP

* 欢迎辞 * 动态规划—一些应用实例 * 要点: 掌握动态规划算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）重叠子问题性质 掌握设计动态规划算法的步骤。 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 * 通过应用范例学习动态规划算法设计策略。 （1）矩阵连乘问题； （2）最大子段和 （3）凸多边形最优三角剖分； （4）多边形游戏； （5）图像压缩； （6）电路布线； （7）流水作业调度； （8）最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树。 * 矩阵连乘问题 给定n个矩阵 ， 其中 与 是可乘的， 。考察这n个矩阵的连乘积 由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积 * （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积 是完全加括号的，则 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号，即 16000, 10500, 36000, 87500, 34500 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： 设有四个矩阵 ，它们的维数分别是： 总共有五中完全加括号的方式 完全加括号的矩阵连乘积 * 矩阵连乘问题 给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。 算法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下： * 矩阵连乘问题 穷举法 动态规划 将矩阵连乘积 简记为A[i:j] ，这里i≤j 考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤kj，则其相应完全 加括号方式为 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量 * 特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。 分析最优解的结构 * 建立递归关系 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n 当ij时， 可以递归地定义m[i,j]为： 这里 的维数为 的位置只有 种可能 * 计算最优值 对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此，不同子问题的个数最多只有 由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。 用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法 * 用动态规划法求最优解 void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s) { for (int i = 1; i = n; i++) m[i][i] = 0; for (int r = 2; r = n; r++) for (int i = 1; i = n - r+1; i++) { int j=i+r-1; m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for (int k = i+1; k j; k++) { int t =