初等函数的连续.pptVIP

初等函数的连续性 教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明． 教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限． 教学重点：初等函数的连续性的阐明． 教学难点：初等函数连续性命题的证明． 一　指数函数的连续性 定理4.10 设 为任意实数，则有 定理的证明 不妨设 ，先证 由指数的定义 由上确界的定义， ，使得 ， 使得 ， （ 有理数， ） 因为 ， 时是严格递增的 由 的任意性 再相反的不等式： 由 ， 使得 记 ，由有理数的稠密性，存在有理数 ，使 得 ， 由 的任意性 定理4.11 指数函数 在R上是连续的. 例1 设 .证明 二 初等函数的连续性 定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数. 定理4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数. 例 1 求 例 2 求 例3 例4 例5 作业：P73 1（１）（2）（3）（5）， 2（１）（２）， ３（３）， ４（２）， ５ * 证明 先设 .有第三章§2例4知 这表明 在 连续.现任取 .由定理4.10得 . 令 则当 时有 ,从而有 这证明了 在任一点 处连续. 当 时,令 ,则有 ,而 可看作函数 与 的复合，所以此时 亦连续． * * *