六节多元函数的极值.pptVIP

* 第六节 多元函数的极值 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值 一、多元函数的极值 定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点(x,y)的函数值恒有 f(x,y)≤f(x0,y0) (或f(x,y)≥f(x0,y0))， 则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点).f(x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点. 例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)f(0,0)=1, 这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标. 例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极大值1.因为对于任何(x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)f(0,0)=1 这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标大于曲面上其他点的z坐标. 定理10.6 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有 证 由于z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，所以当y保持常量y0时，对一元函数z=f(x,y0)在点x0点也必有极值，根据一元函数极值存在的必要条件，得 同理可证 使 同时成立的点(x0,y0),称为函数f(x,y)的驻点. 容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. 注意：驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2–y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即 还要注意：极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点. 定理10.7(极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记 ，则 (1) 当B2–AC0，且A0时,(x0,y0)为极大值点，f(x0,y0)为极大值；当B2–AC0，且A0时，(x0,y0)为极小值点，f(x0,y0)为极小值. (2) 当B2–AC0时，f(x0,y0)不是极值. (3) 当B2–AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值，此法失效. 综合定理10.6，定理10.7，对于具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)求其极值的步骤如下： 2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C. 1.求方程组 的一切实数解，得到所有驻点. 3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2–AC的符号，按照定理10.7的结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值. 例3 求函数 的极值. 的一切实数解，得驻点(1,0). 在(1,0)点处，有A=2，B= –1，C=2. B2–AC= –30，且A0， 由极值的充分条件，得f(1,0)= –1为极小值. 解 求方程组 求函数的二阶偏导数 例4 求函数 的极值. 的一切实数解，得驻点(0,0)，(–4,–2). 解 求方程组 求函数f的二阶偏导数， 由极值的充分条件知，知(0,0)不是极值点，f(0,0)=0不是函数的极值. 在(–4,–2)点处，有 而A0，由极值的充分条件，知点(–4,–2)为极大值点，f(–4,–2)=–8e–2是函数的极大值. 在(0,0)点处，有A=2，B=0，C= –4. B2–AC=80 如何求函数z=f(x,y)在区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的