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* * 一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 §7.7 线性变换的定义 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解 第七章 线性变换 设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若 有 则称W是　的不变子空间，简称为 －子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换 来说，都是 －子空间. 一、不变子空间 1、定义 注： 1）两个　－子空间的交与和仍是　－子空间. 2）设 　则W是 －子空间 证： 显然成立. 任取 设 则 故W为 的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1）线性变换 的值域 与核 都是 的 不变子空间. 证： 有 故 　　为 的不变子空间. 又任取 有 3、一些重要不变子空间 也为 的不变子空间. 2）若 　则 与 都是 －子空间. 证： 对　　　　　存在 使 于是有， 为 的不变子空间. 其次，由 对 有 于是 故　 为　的不变子空间. 的多项式 的值域与核都是 的不变子空间. 这里　　为 中任一多项式. 注： 4）线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间. 有 5）由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间. 证：设 是　的分别属于特征值 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换　的不变子空间. 任取 设 则 为 的不变子空间. 事实上，若 则 为　 的一组基. 因为W为 －子空间， 即必存在 　使 是 的特征向量. 特别地，由　的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 －子空间. 反过来，一个一维 －子空间 必可看成是　的一个特征向量生成的子空间. 注： 二、 在不变子空间W引起的线性变换 定义： 不变子空间W上的限制 . 记作 　在不变子空间W上引起的线性变换，或称作　在 设　是线性空间V的线性变换，W是V的一个　的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 ① 当 时， ③ 任一线性变换　在它核上引起的线性变换是零 变换，即 即有 注： 当 时， 无意义. ② 　在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换， 1、设　是　维线性空间V的线性变换，W是V 的 －子空间， 为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 若 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵具有下列形状: 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 反之，若 则由 生成的子空间必为 的 不变子空间. 事实上，因为W是V的不变子空间. 即， 均可被 线性表出. 从而， 设 在这组基下的矩阵为 若 ，则 为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵 2、设 是 维线性空间V的线性变换， 都是 的不变子空间，而 　　　　　是 的一组基，且 （1） 的子空间 为 的不变子空间，且V具有直和分解： 由此即得： 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由　　　　　　生成 V的线性变换　在某组基下的矩阵为准对角形 V可分解为一些　的不变子空间的直和. 反之，若 在基 定理12：设 为线性空间V的线性变换， 是 四、线性空间的直和分解 是 的特征多项式. 若 具有分解式： 再设 则　都是 的不变 子空间；且V具有直和分解： 证：令 则 是 的值域， 是 的不变子空间. 又 （2） 下证　　　　　　　　　　　分三步： 证明 ∴ 存在多项式 使 于是 ∴ 对 　有 证明　　　　　　　是直和. 证明 这里 其中　 （也即，　　　　　　　　），　　　　 则 ∴ 存在 　使 于是 (3) 即证，若 证明　　　　　　　是直和.