简单距离问题.doc

建校选址问题 摘 要 本文针对25个乡镇中建立一所学校的选址问题进行研究。通过对问题中所要建校的要求进行分析，从题中所要求的角度进行建校选址模型的建立。分别建立最远乡镇学生上学最近的模型一和学生上学平均距离最短的模型二。对题中问题1和问题2的解决提供了理论依据。 模型一： 首先对表中各个乡镇的坐标数据进行处理，获得各个乡镇之间的距离。 然后以一个乡镇作为建校乡镇，求得与之对应最远乡镇之间距离。 最后在这些距离中求得最小值。该最小值对应的建校乡镇可以使得最远乡镇学生上学最近。 模型二： 在模型一求得各个乡镇间距离的基础上，以一个乡镇作为建校乡镇，求得各个乡镇学生上学时的平均距离。 再在这些距离中求得最小值。该最小值对应的建校乡镇可以使得学生上学平均距离最短。 在模型的求解过程中，使用数学软件Matlab和C语言编程求解。运用穷举法的思想，对各个乡镇间的距离以及距离处理时进行编程。用Excel对数据进行分析。得到符合题中所要求的建校乡镇地址。 求解得到第12号乡镇作为建校乡镇时，不仅可以使得最远乡镇学生上学最近，还可以使得所有学生上学的平均距离最短。 最后对模型进行客观的分析，合理的评价和推广。 关键词： 最近距离 最短平均距离 穷举法 一．问题重述 1.1 问题背景 百年大计，教育为本。千秋大业，教育为先。强国必先强教。实施新城配套学校建设工程，制定实施基础教育空间布局规划，促进义务教育优质资源均衡合理布局，扩大优质高中资源的覆盖范围。已被国家列入十二五教育规划。一个好的建校选址的方案将对当地教育的发展起到一定的促进作用。 1.2 问题的提出 实际问题：某行政区有25个乡镇，每个乡镇的具体位置（用平面坐标系x，y表示）及高中生人数t，如表1， 假设乡镇之间均有直线道路相连，现在一个。乡镇上建立一所高中。 1、问高中应建在哪个乡镇，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近。2、问高中应建在哪个乡镇，使学生往返学校的平均距离最短。学生往返学校的平均距离 意义 第i乡镇的编号 第i乡镇的学生人数 第i乡镇的横坐标。 第i乡镇的纵坐标 从第i乡镇到第j乡镇的直线距离 第i乡镇作为建校乡镇时离最远乡镇的距离。 所有乡镇的总学生数； Vi乡镇的作为建校乡镇，所有学生上学所需要的总路程； Vi乡镇作为建校乡镇，学生上学往返平均距离； 使得最远的乡镇学生上学最近的距离。 使学生往返学校的平均距离最短的距离。 (i=1，2，3……，25 ; j=1，2，3……，25) 4.2 模型的建立 题一:首先运用两点间的距离公式： 可以从中选择出第i乡镇作为建校乡镇时离最远乡镇的距离。 再在这些距离中选出最小的距离。该距离所对应的建校乡镇即为能够使得最远的乡镇的学生上学最近的距离。 整合以上各式得： 所对应的建校乡镇i即为所求的建校乡镇。即能够使得最远的乡镇的学生上学最近的建校乡镇。 问题二： 由题中的表可以求出学生的总人数： 然后求出各个乡镇作为建校乡镇时，学生上学时往返的总路程 之后求出建校乡镇为时，学生上学往返的平均距离： 再在往返平均距离中中选取最小值 整合以上相关的各式得： 所对应的建校乡镇i使得学生往返学校的平均距离的距离最短。 4.3 模型的求解 问题一：由题表1可以将各个乡镇的坐标用Excel绘制成乡镇分布散点图。 如图表1所示。 图表 1 从图表1中可以看出位于乡镇分布的中间区域的乡镇，是建立学校的合适地区。根据两点间距离公式，可以利用数学软件MATLAB编程和C语言编程首先求得各个乡镇之间的距离。 程序流程图如下： 所得到的距离为各个乡镇之间的距离。实际的值为附录中表2所示。进而可以创建一个25*25的矩阵。 再使用编程在各行中提取最大值，即建校乡镇与非建校乡镇最远的距离。 程序流程图如下所示： 用编程获得的结果如下： V1 V2 V3 V4 V5 399.1076 359.3603 353.4678 298.4487 430.3480 V6 V7 V8 V9 V10 422.2044 400.3612 389.3148 394.5814 393.1545 V11 V12 V13 V14 V15 329.6898 260.5613 358.9678 344.0749 347.2204 V16 V17 V18 V19 V20 395.9415 280.2596 397.1600 362.4528 2