第4章稳定性与李雅普诺夫方法讲义.pptVIP

【例 4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。 解：线性系统，故 是其唯一平衡点。 将矩阵形式的状态方程展开得到： 取标量函数(李雅谱诺夫函数)： 且当 时， ， 4.3 李雅普诺夫第二法 半负定，不恒为0，渐近稳定。 所以系统在其原点处大范围渐近稳定。 另选一个李雅普诺夫函数： 当 时， ，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。 4.3 李雅普诺夫第二法 解: 系统具有唯一的平衡点 。取 则 于是知系统在原点处不稳定。 例4-8 系统的状态方程为 试确定系统在其平衡状态的稳定性。 4.3 李雅普诺夫第二法 4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的； （4）V(x)最简单的形式是二次型 ； （5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息； （6）构造V(x) 需要一定的技巧。 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据 系统矩阵非奇异 选择李雅普诺夫函数正定 对其求时间导数 将状态方程代入 令其负定 整理 记为-Q 设线性定常系统为： 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程： 且 就是李雅普诺夫函数。 证明：略。 定理 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 说明： （1）一般先取正定矩阵Q，带入李雅谱诺夫方程，求出P，判别P的正定性，从而判断系统的稳定性； （2）以方便计算，通常取 Q＝I。 （3）若 沿任一轨线不恒等于零，那么Q可取半正定， 即可取 计算更简单。 （4）判据是充分必要条件 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 例4-9: 分析下列系统稳定性 解：令 ， 则由 得 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 解上述矩阵方程，即得 因为 可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。 或，取李雅谱诺夫函数 正定 负定 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 【例4-10】系统状态方程 确定使系统稳定的K的取值范围。 解：因detA≠0，故原点为系统唯一平衡点。取Q为： 不恒为0。故，可取Q为半正定矩阵。 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 则由 得 解得， 为使P为正定矩阵，充要条件为 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 本章小结 1、几种稳定性的概念 2、李雅普诺夫第一法判定稳定性 3、李雅普诺夫第二法判定稳定性 4、李雅普诺夫方程 * 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 设系统的齐次状态方程为： 设其在初始条件 下，有唯一解 那么，此解实际上描述了系统在n维空间中从初始状态出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。 其中，x 为 n 维状态向量， 为n维向量函数。 如果系统是定常的，则不显含 t； 如果系统是线性的，则 f 为 Ax 平衡状态不一定存在，也不一定唯一。 如： 其平衡状态有： 稳定性是相对于平衡点而言的！ 平衡状态：若存在状态向量 ，对所有t，都有 成立，则称 为系统的平衡状态。 如果 ，且 A非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态。 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 4.1.2 稳定性的几个定义 定义 欧氏范数： 称为 向量的欧氏范数。 超球域 4.1 李雅普诺夫