二、行列式讲述.ppt

数学与信息科学学院 第 二 章 行列式的概念 n阶行列式 行列式的性质 行列式按行（列）展开定理 行列式的计算 再论可逆矩阵 二元线性方程组 的解可用二阶行列式表示 n 阶行列式概念的引入 定义2.7 n阶行列式 §4 行列式按行（列）展开定理 定义2.8 在n阶行列式中划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的n－1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij 。 记 ，称Aij为元素aij的代数余子式。 例如 引理2.1 n阶行列式D，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D＝aijAij 证 先证i＝1，j＝1的情形 设 D 的第 i 行除 外都是 0 .即 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······ 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。 得 定理2.2 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 例 1 计算行列式 解 由定理2.2 ，将行列式按第一行展开 也可以按其他行（或列）展开，但是尽量选择按更多元素为零的行（或列）展开 例2 计算 解： 定理2.3 行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 证 已知 当i?j,将上述行列式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),（即把第j行的元素换成第i行的元素）可得 同理 代数余子式的重要性质: 例3 已知 求 例4 已知 方法：若求行列式某行（列）元素的代数余子式的线性组合值，只需将该行（列）元素换为线性组合的系数，计算新的行列式即可。若所给为余子式，需先转换为代数余子式再计算。 证明 定理2.4 设 证明 课本上利用行列式展开定理加以证明，下面给出另一个做法。 推论2 设 推论1 设 定理2.5 设A , B是 n 阶方阵，则 证明: 对上述行列式作行变换，将第n+1行的a11倍，第n+2行的a12倍，…第2n行的a1n倍加到第一行，得 再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3, …,n)，第n+2行的ak2倍，…第2n行的akn倍加到第k行，得 其中c1k(k=1,2,3, …,n)恰为C=AB的第一行的元素。 注：A , B是 n 阶方阵, 则 C=AB 事实上，从分块矩阵的角度更容易理解上述定理。 例5 提示 *例6 证明： 利用分块矩阵的广义初等变换，还可以证明以下结果： 设 则： 证明 ： *例7 §5 行列式的计算 一、对角线法则 只适用于计算二阶、三阶行列式，计算时可结合行列式的各种性质加以简化。 二、利用展开定理 例1 例3 三、利用性质化为上（下）三角形行列式 例2 例5 计算 例4 对类似上述箭形行列式，均可作类似处理。 例6 该题在课本上给了另外两种解法，可以尝试寻找其他的解题方法。 例7 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 四、数学归纳法 证明 用数学归纳法 (1)当n=2时, 结论成立. * 行 列 式 §1 2阶和3阶行列式 注：（二阶）行列式本质上是由一些数按次序排成的数表按照一定的运算法则所得到的一个数。 定义2.1 用符号 表示 ，称其为二阶行列式 当 时，有 同样，由三元线性方程组可引入三阶行列式的概念。 定义2.2 对角线法则 三阶行列式 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 当系数行列式 相应的，三元线性方程组的解可用三阶行列式表示 方程组有唯一解 例1 计算行列式 例2 解方程组 注意：系数行列式为 定义2.3 由n 个不同的数字构成的一个有序数组称为这n 个数字的一个n 级排列. 例如： 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 3 4 1 5 2 都是数1，2，3，4，5的一个排列. 注：n个数的不同排列有 个. n ! 按照由小到大的顺序排成的排列称为自然排列. §2 n 阶行列式 定义2.4 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列含有一个逆序. 一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作 定义2.5 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 n 级排列 的逆序数的计算方法: 数k1后面比k1小的数的个数 +数k2后面比k2小的数的个数 +数kn-1后面比kn-