第2.4连续型随机变量讲义.ppt

* 指数分布的无记忆性： 解释：以元件寿命为例，上式表明在已知元件的寿命长于t0的条 件下，再使用t年的概率与前面的t0年无关。 * 例6 已知某系统由元件A、B并联而成，A、B的寿命分别为X、Y，且它们都服从参数为 λ 的指数分布。若A、B的工作相互独立，求系统寿命Z 的分布函数及概率密度函数。 解：由题意可知，X 与Y 的分布函数分别是： 因系统由元件A、B并联而成，故只要有一个元件能工作，系统即可工作，即系统寿命是两元件中寿命较大者： Z=max{X, Y }. A B * 从而可得Z的分布函数： 进一步可得Z的概率密度函数： * P43 例2.19 * 练习1 设某类日光灯管的使用寿命X 服从参数为λ=1/2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率。 (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率. X 的分布函数为： 解 * 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. * 3. 正态分布 正态分布是最常见最重要的一种分布，例如：测量误差， 人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布. 正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位. * 定义4 设连续型随机变量X的概率密度函数为： 其中μ和σ(σ0)都是常数，则称X服从参数为μ和σ2的正态分布(Normal Distribution)或高斯分布(Gaussian Distribution)，记为X~N(μ,σ2)。 1? 一般正态分布 * 正态概率密度函数的几何特征 单峰对称 * - * σ越小， 图形越高瘦； σ越大，图形 越矮胖。 * 正态分布的分布函数 * 　　正态分布是概率论中最重要的分布。 　　一方面是因为在自然现象和社会现象中出现的许多随机变量都服从或近似服从正态分布。 　　另一方面在理论研究中正态分布十分重要，正态分布具有许多良好性质，有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布，这些分布可用正态分布来近似，一些分布又可以通过正态分布来导出。 背景与应用 * 例如：武汉某年年降雨量数据的频率直方图 从直方图可初步看出，年降雨量近似服从正态分布。 * 又如：根据某大学女生的身高的数据画出的频率直方图 可见，某大学女生的身高应服从正态分布。 红线是拟合的 正态密度曲线 * 再如：在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。 * 正态分布下的概率计算 方法: 转化为标准正态分布查表计算 原函数不是 初等函数 * 定义5 标准正态分布的概率密度函数表示为: 2? 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为： * 标准正态分布的图形 概率密度函数φ(x) 分布函数Φ(x) φ(x)是偶函数， 图形关于纵轴对称 * 概率密度函数φ(x)的性质： * 查标准正态分布表 （P215 附表2） 分布函数Φ(x)的性质（根据概率密度函数φ(x)图形分析得到) * * * §2.4 连续型随机变量 第二章 一元随机变量及其分布 * 对于连续型的随机变量，由于它的取值充满了一个区间 ,在讨论这类随机变量取值对应的概率时，我们无法像处理离散型随机变量那样, 用指定它取每个值概率的方式给出其概率分布, 而且而是通过给出“概率密度函数”的方式。 　　 类似地，离散型随机变量的分布函数可以通过对若干概率求和的方式得到，而连续型随机变量的分布函数则需要对概率密度求积分得到。 * §2.4 连续型随机变量 一、连续型随机变量及其概率密度函数 定义1 设X是一随机变量, F(x)是X的分布函数，如果存在某个非负可积函数 f (x)，使得对于任意实数x有： 则称X为连续型随机变量，称f (x)称为X的概率密度函数(Probability Density Function)，简称概率密度(Probability Density)或密度函数. 常记为X～ f(x), (-?x+?)。 * * 注1 1.连续型 r.v. X 的分布函数F(x)是一个变上限的定积分，它是一个连续函数；当 f(x)连续时，F(x)是可导函数。 2.分布函数F(x)的取值是“从-∞到x，x轴与概率密度函数 f(x)之间的区域面积值”。 3.连续型 r.v. X 的概率密度函数 f(x)虽然表征了X 在点 x 处的概率情况，但并不是 X 取 x 时的概率值P{X=x}，它