科研训练草稿.docVIP

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练 求第二型曲线积分的方法 系 （部）： 信息与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031113 学生姓名： 吕龙威 成 绩： 　 　　 　 2012 年6 月 求第二型曲线积分的方法 吕龙威 长沙学院 信息与计算科学系湖南 长沙 410022 摘要：第二型曲线积分是定义在平面或空间曲线线段上的函数积分．本文主要利用“三替换法”化为定积分法；格林公式凑微分法；斯托克斯公式．多层次，全方位讲解第二型曲线积分的技巧．每种方法结合一两个例题加以诠释，熟悉各种方法的具体运用． 关键词：第二型曲线积分，斯托克斯公式，凑微分，格林公式，定积分 1 引言 第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，是变力沿曲线做功的具体反映，在物理学上有重要的应用．第二型曲线积分又是数学分析中的重要知识章节．掌握其基本的计算方法具有很大的难度，与格林定理，斯托克斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点．本文通过分析第二型曲线积分几种计算技巧，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法．对广大学生学习第二型曲线积分具有重要的指导意义． 2求第二型曲线积分的方法 方法一　 利用“三替换法”化为定积分[2] 三替换法是指：替换；替换；替换． 根据L的不同形式，有以下三种不同的替换法． 替换 其中上限下限分别对应的起点、终点参数值 （2）替换 （3）替换 其中 例1[2] 为以为顶点的三角形边界，如图1计算 沿逆时针方向． 解 如图所示，这是第二类曲线积分． 方法二　利用格林公式法[4] 在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为?C?且平面区域为?D?的双重积分．格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名． 定义：设闭区域D由分段光滑的曲线?L?围成，函数?P(x,y)及?Q(x,y)在?D?上具有一阶连续偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线．格林公式还可以用来计算平面图形的面积． 此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系． 以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线．对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线． 如果我们可以证明 （1） 以及 （2） 那么就证明了格林公式是正确的． 把右图中I型的区域D定义为： 其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分： 现在计算(1)式中的曲线积分．C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的交集． 对于C1，使用参数方程：x = x，y = g1(x)，a ≤ x ≤ b．那么： 对于C3，使用参数方程：x = x，y = g2(x)，a ≤ x ≤ b．那么： 沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此： 所以: (3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)． 例2[4].用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分． 解： 显然，这个积分满足格林公式的条件．用格林公式， 这比例1中的解法简单一些． 例3[4].计算第二类曲线积分 其中L为从A（-2,0）到B（2,0）沿椭圆 的上半部分的曲线． 解：L不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式．增加沿x轴的线段而成为封闭曲线． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算． 方法三　凑微分法[7] 对第二型曲线积分，若积分与路径无关，则有与定积分的牛顿莱布尼茨公式相类似的计算公式，下面以定理的形式写出． 定理 设P(x,y),Q(x,y)在单连通闭区域D内有一阶连续偏导数，点A(x1，y1)，B（x2,y2）D,且D，若存在一个可微函数，使，　 则 （*） 而用此公式的关键在于求的原函数及全微分．． 本文只强调用观察的方法来凑全微分．这就必须对下边的几个简单常用的表达式要非常熟悉： 例4[2、7] 计算 ，积分路径不与y轴相交． 解： 例5[3、7] 计算 ，其中C是