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第五章 有限长离散变换——离散傅里叶变换 离散时间、离散频率的傅立叶变换――离散傅立叶变换 上一章讨论的三种傅立叶变换的形式均不适合在计算机上运算。原因就是存在一种连续的函数（无论时域还是频域）。离散傅立叶变换是一种在时域和频域均离散的傅立叶变换。 推导离散傅立叶变换的方法有很多种。 在0～N－1个复数值组成的时间序列中， 构成完备的正交序列集，因为 把分解为上述完备正交集之和，即 如何求系数呢？   为了书写方便，通常把记为，则 ＝，令，或 那么，离散傅立叶变换对就写为 四种傅立叶变换形式的归纳。非周期连续时间信号的频谱也是非周期连续的。在时间或频域中任何一个域离散，在另一个域将被周期性延拓。 有限长序列，作离散傅立叶变换时，都是作为周期序列的一个周期——主值序列——来处理的，隐含有周期性的意义。  离散傅立叶变换的性质 对N点有限长序列，X1(k)=DFT[x1(n)], X2(k)=DFT[x2(n)] 具有下列性质： 线性 DFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(k)+bX2(k) 注意，两个序列的长度相同，如果序列长度不同，则要将较短序列补零，与较长的序列长度一致，否则，不成立。 序列的循环移位 x(n)(xm(n) 一个序列的循环移位是指：将序列延拓成周期序列，将周期序列移位，取移位后的周期序列的主值序列，即得到循环移位后的序列。 用表示的周期性延拓，且周期为N 有限长序列循环移位后的DFT为： 证： 由于 故 由此得： 同理，对于频域的有限长序列X(k)，其循环移位性质有：  共轭对称性 有限长序列的共轭对称序列： 满足条件 的序列叫共轭对称序列。 满足条件 的序列叫共轭反对称序列。 任一序列总能表示为一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和。即 满足共轭对称序列条件 满足共轭反对称序列条件 值得注意的是，是长度为N的序列，而按该条件定义的，却是长度为2N－1 的序列。 周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量 共轭对称 共轭反对称 有限长序列的循环共轭对称序列和循环共轭反对称序列 有限长序列为，长度为N。将它们以N为周期作周期延拓，得到周期序列 ＝ 其共轭对称分量和共轭反对称分量分别为： 有限长序列的共轭对称分量和共轭反对称分量分别定义为： 按照相同的方法，如果可以得到的循环共轭对称分量和循环共轭反对称分量 在之间存在下列对称性质： 若是实序列，则 若是纯虚序列，则 证：1) 2) 3) 4) 5) 若是实序列， 则 6） 若是纯虚序列， 则 7） 例 一个长度为11点的实序列的11个离散傅立叶变换的6个样本为： X[0]=12, X[2]=-3.2-j2, X[3]=5.3-j4.1, X[5]=6.5+j9, X[7]=-4.1+j0.2, X[10]=-3.1+j5.2。求余下的5个样本。 解，利用性质5 若是实序列，则 这里，N＝11。因此余下的5个点: ,, , DFT形式下的帕塞瓦定理 证明： 当 y(n)=x(n)时 循环卷积和 设，都是长度为N的有限长序列， 则 循环卷积和 证明：利用圆周移位性质： 例 计算x1和 x2的4点循环卷积和 (x1和 x2见图) y(0)=1*3+0*2+0*1+1*0=3; y(1)=1*3+1*2=5 y(2)=0*3+1*2+1*1+0=3 y(3)=0*3+0*2+1*1+1*0=1 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 1 1 0 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 X 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 X 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 3 5 3 1 3 5 3 1 3 5 3 1 竖式乘法： （线性卷积和） 例，计算时宽为N的两个矩形序列 的N点循环卷积和。 ， （具体，以N=3，循环与线性） 例 将x1(n) 和 x2(n)各增加N个零点，把其看成2N点序列，再求循环卷积和。 计算结果与x1(n) 、 x2(n)的线性卷积和结果相同。这意味着线性卷积和的运算，在一定条件下可以用循环卷积和来进行。而循环卷积和可以通过傅立叶变换来完成。 有限长序列的线性卷积和与循环卷积和 有限长序列x1(n)(非零区间长度为N1)，和x2(n)(非零区间长度为N2