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第八章 欧氏空间练习题
1.证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,以下等式成立:
(1);
(2)
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
2.在区氏空间里,求向量与每一向量
,
的夹角.
3.在欧氏空间里找出两个单位向量,使它们同时与向量
中每一个正交.
4.利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形.
5.设是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:
(勾股定理)
6.设都是一个欧氏空间的向量,且是的线性组合.证明:如果与正交,,那么.
7.设是欧氏空间的个向量. 行列式
叫做的格拉姆(Gram)行列式.证明=0,必要且只要线性相关.
8.设是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:
和都是的整数.
证明: 的夹角只可能是.
9.证明:对于任意实数,
).
10.已知
,,
,
是的一个基.对这个基施行正交化方法,求出的一个规范正交基.
11.在欧氏空间里,对于线性无关的向量级{1,,,}施行正交化方法,求出一个规范正交组.
12.令是欧氏空间V的一组线性无关的向量,是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即
13.令是维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫做一个-方体.如果每一都等于0或1,就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?
14.设是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意,以下等式成立:
.
15.设V是一个维欧氏空间.证明
如果W是V的一个子空间,那么.
如果都是V的子空间,且,那么
如果都是V的子空间,那么
16.证明,中向量到平面
的最短距离等于
.
17.证明,实系数线性方程组
有解的充分且必要条件是向量与齐次线性方程组
的解空间正交.
18.令是维欧氏空间V的一个非零向量.令
.
称为垂直于的超平面,它是V的一个维子空间.V中有两个向量,说是位于的同侧,如果同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面同侧,且两两夹角都的非零向量一定线性无关.
[提示:设是满足题设条件的一组向量.则,并且不妨设.如果,那么适当编号,可设,,令,证明.由此推出.]
19.设U是一个正交矩阵.证明:
U的行列式等于1或-1;
U的特征根的模等于1;
如果是U的一个特征根,那么也是U的一个特征根;
U的伴随矩阵也是正交矩阵.
20.设,且
.
证明,可逆,并且
21.证明:如果一个上三角形矩阵
是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素是1或-1.
22.证明:维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.
23.设是维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在之下不变,那么W的正交补也在下不变.
24.设是欧氏空间V到自身的一个映射,对有证明是V的一个线性变换,因而是一个正交变换.
25.设U是一个三阶正交矩阵,且.证明:
U有一个特征根等于1;
U的特征多项式有形状
这里.
26.设和是维欧氏空间V的两个规范正交基.
证明:存在V的一个正交变换,使.
如果V的一个正交变换使得,那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合.
27.设是维欧氏空间V的一个线性变换.证明,如果满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个: 是正交变换; 是对称变换;是单位变换.
28.设是维欧氏空间V的一个对称变换,且.证明,存在V的一个规范正交基,使得关于这个基的矩阵有形状
29.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
30.维欧氏空间V的一个线性变换说是斜对称的,如果对于任意向量,
.
证明:
斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件的矩阵叫做斜对称矩阵)
反之,如果线性变换关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么一定是斜对称线性变换.
斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.
31.令A是一个斜对称实矩阵.证明,可逆,并且是一个正交矩阵.
32.对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得是对角形式:
;
3
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