材料力学截面的几何性质概要.ppt

4.1 转轴公式 平面任意图形及新旧坐标系统 图示平面图形对任意一对新坐标轴y轴z轴的惯性矩和惯性积为： 若将坐标轴绕坐标原点旋转a角(规定a角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)。得到一对新坐标轴y1轴和z1轴。图形对y1轴z1轴的惯性矩和惯性积为： 从图中任意一点取微面积dA，它在新旧坐标(y1,z1)和(y,z)有如下关系 将此关系代入Iy1、Iz1和Iy1z1中，得 将 代入上式得 同理 (a) * 附录Ⅰ 截面的几何性质 §Ⅰ-1 截面的静矩和形心位置 §Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径 §Ⅰ-4 转轴公式 主惯性矩 §Ⅰ-3 平行移轴公式 附 录 * 一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） dA z y y z 静矩与形心 截面对z轴的静矩： 截面对y轴的静矩： ① 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一图形对不同坐标轴，其静矩也就不同； ② 静矩的数值可正、可负、也可等于零； ③ 静矩的量纲是长度的三次方。 * 二、静矩与形心的关系 z y y z 形心坐标 C 由力矩的等效关系得到静矩的另一公式： (1)若z、y轴通过形心C，则 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。 即：截面对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必过其形心。 (2) 对于有对称轴的截面,对称轴必然是形心轴. 组合截面形心 组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形等）组成的，这种截面称为组合截面。 附 录 组合截面对X、Y轴静矩的计算： Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 组合截面对某一轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩的代数和。 确定组合截面形心位置的公式： 附 录 yc1 y1 H/2 H/2 C b 例题 一矩形截面如图所示，图中的b、h和y1均为已知值。试求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。 解： X Y 例2、图形对 x 轴的静矩为 形心坐标yc为 例3、求左图示组合图形的静矩。 解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形，要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。 对图形I和图形II,有 极惯性矩 为图形对坐标原点o的极惯性矩。极惯性矩恒为正值，它的量纲为[长度]4，常用单位为m4和mm4。 定义 极惯性矩 惯性矩 惯性积 分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯性矩。惯性矩的量纲是[长度]4，惯性矩是恒正的量。 惯性矩 惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。 惯性矩的大小不仅与图形面积有关，而且与图形面积相对于坐标轴的分布有关。面积离坐标轴越远，惯性矩越大；反之，面积离坐标轴越近，惯性矩越小。 iy和iz分别称为图形对于y 轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。 定义 惯性半径 或 由于 则 此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。 为图形对y、z轴的惯性积 。 定义 惯性积 惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长度]4 ，常用单位为m4和mm4。 定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必然为零。 1. 均质矩形板 质量为m，长度为l的均质杆，建立图示坐标系，则有 2.5 常见图形的惯性矩、惯性积 很容易得到下列结果 圆形 直径为d的圆形，选取图示圆环形积分微元， 由于y轴为对称轴，故 圆环形对y(或z)轴的惯性矩为 圆环形 对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于形心C的坐标系Cyczc，由定义 及坐标变换公式 平行移轴定理 将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐标系的坐标来表达 由于yc是过形心的轴，所以 同理可得 小结 移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心； 在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。 解：将图形看作是两个矩形的结合。形心坐标为 例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和惯性积。 求图形对y、z轴的惯性矩 由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为 * *典型截面惯性矩的计算 1、矩形截面 z y b h y dy 同理 * z y D 2、实心圆截面 已知 则 由对称性知 所以 同理，空心圆截面 * 平行移轴定理 以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC , yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为： dA z y y z r a b C zC y