柯西不等式教学设计.docVIP

柯西不等式教学设计 教学目标： 知识目标： 认识二维柯西不等式的两种形式：代数形式；向量形式。 学会二维柯西不等式的两种证明方法：代数方法；向量方法。 了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。 能力目标： 学会运用柯西不等式解决一些简单问题。 学会运用柯西不等式证明不等式。 培养学生知识迁移、自主探究能力。 情感、态度、价值观目标： 通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。 教学重点与难点： 教学重点： 二维柯西不等式的两种形式及其证明：代数形式；向量形式。 探究一般的柯西不等式形式。 教学难点： 柯西不等式的证明思路。 运用柯西不等式解决问题。 教学方法：探究法、讲述法。 教学过程及内容： 单刀直入，通过基本不等式引出平方和与乘积的关系，直接引入主题： 【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式——柯西不等式，它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子 【生】：全神贯注地看黑板。 【师】：在黑板展示： 由于 因此 所以 当且仅当时，等号成立。 【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。 讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论： 二维形式的柯西不等式： 若都是实数，则 当且仅当时，等号成立。 推论一： 推论二： 练习巩固新知识： 例一：已知为实数，证明： 【生】：动笔演算。 【讲解】：利用柯西不等式， 例二：求函数的最大值。 【生】：动笔演算。 【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。 【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即 。 当且仅当，即时，函数有最大值5。 讲解柯西不等式的向量形式： 在平面直角坐标系中， ，则 又 而 即 当且仅当共线时，等号成立，即 柯西不等式的向量形式： 设 是两个向量，则， 当且仅当是零向量，或存在实数，使得时，等号成立。 又称之为Cauchy-Schwarz不等式。 通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式： 三维形式的柯西不等式： 当且仅当，或存在使得时，等号成立。 三维柯西不等式巩固练习： 例三：设为正数，求证： 【生】：动笔演算。 【讲解】：利用柯西不等式， 探究一般形式的柯西不等式： 【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？ 【生】：踊跃回答： 【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。）下面我们先来看一个例题： 例四：设求证： 【讲解】：在不等式左端乘以因式，由柯西不等式，得 于是 小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。 板书设计： 柯西不等式 二维形式的柯西不等式： 若都是实数，则 当且仅当时，等号成立。 推论一： 推论二： 柯西不等式的向量形式： 设 是两个向量，则， 当且仅当是零向量，或存在实数，使得时，等号成立。 三维形式的柯西不等式： 当且仅当，或存在使得时，等号成立。 一般形式的柯西不等式： 当且仅当，或存在使得时， 等号成立。