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人工智能原理教案归结推理方法谓词逻辑归结法基础
2.3 谓词逻辑归结法基础 由于谓词逻辑与命题逻辑不同,有量词、变量和函数,所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理,具体的说就是要将其转化为Skolem标准形,然后在子句集的基础上再进行归结,虽然基本的归结的基本方法都相同,但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。 本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem标准形、子句集等一些必要的概念和定理。 2.3.1 Skolem 标准形Skolem标准形的定义: 前束范式中消去所有的存在量词,则称这种形式的谓词公式为Skolem标准形,任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem标准形。但是,Skolem标准形不唯一。 前束范式:A是一个前束范式,如果A中的一切量词都位于该公式的最左边(不含否定词),且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。 Skolem标准形的转化过程为,依据约束变量换名规则,首先把公式变型为前束范式,然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下: 将谓词公式G转换成为前束范式 前束范式的形式为: (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn) 即: 把所有的量词都提到前面去。 注意:由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端,即,最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。 约束变量换名规则: (Qx ) M(x) (Qy ) M(y) (Qx ) M(x,z) (Qy ) M(y,z) 量词否定等值式: ~(x ) M(x) (y ) ~ M(y) ~(x ) M(x) (y ) ~ M(y) 量词分配等值式: (x )( P(x) Q(x)) (x ) P(x) (x ) Q(x) (x )( P(x) Q(x)) (x ) P(x) (x ) Q(x) 消去量词等值式:设个体域为有穷集合(a1, a2, …an) (x ) P(x) P(a1) P(a2) …∧ P(an) (x ) P(x) P(a1) P(a2) … ∨ P(an) 量词辖域收缩与扩张等值式: ( x )( P(x) Q) ( x ) P(x) Q (x )( P(x) Q) ( x ) P(x) Q (x )( P(x) → Q) (x ) P(x) → Q (x )( Q → P(x) ) Q → (x ) P(x) (x )( P(x) Q) (x ) P(x) Q (x )( P(x) Q) (x ) P(x) Q (x )( P(x) → Q) (x ) P(x) → Q (x )( Q → P(x) ) Q → (x ) P(x)消去量词 量词消去原则: 1) 消去存在量词,即,将该量词约束的变量用任意常量(a, b等)、或全称变量的函数(f(x), g(y)等)代替。如果存在量词左边没有任何全称量词,则只将其改写成为常量;如果是左边有全程量词的存在量词,消去时该变量改写成为全程量词的函数。 2) 略去全程量词,简单地省略掉该量词。 Skolem 定理: 谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式,但其前束范式不唯一。 注意:公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。例题2-2 将下式化为Skolem标准形: ~(x)(y)P(a, x, y) →(x)(~(y)Q(y, b)→R(x)) 解: 第一步,消去→号,得: ~(~(x)(y)P(a, x, y)) ∨(x) (~~(y)Q(y, b)∨R(x)) 第二步,~深入到量词内部,得: (x)(y)P(a, x, y)∧~(x) ((y)Q(y, b)∨R(x)) = (x)(y)P(a, x, y) ∧(x) ((y)~Q(y, b)~R(x)) 第三步,全称量词左移,(利用分配律),得 (x)( (y)P(a, x, y) ∧(y)(~Q(y, b)~R(x))) 第四步,变元易名,存在量词左移,直至所有的量词移到前面,得: (x)( (y)P(a, x, y) ∧(y)(~Q(y, b)~R(x))) = (x) ( (y)P(a, x, y) ∧(z)(~Q(z, b)~R(x))) = (x) (y) (z) (P(a, x, y) ∧~Q(z, b)~R(x)) 由此得到前述范式 第五步,消去(存在量词),略去全称量词 消去(y),因为它左边只有(x),所以使用x的函数f(x)代替之,这样得到: (x)(z)( P(a, x, f(x)) ∧~Q(z, b
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