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§ 1.2 Schrodinger方程 一、Schrodinger方程 二、概率守恒 三、不含时Schrodinger方程 四、定态 Schrodinger方程 1. 量子力学方程应满足的条件 a. 方程中要含有对t的导数. b.态叠加原理要求：及对时空的导数应为线性. c.方程中不能含有描写确定状态的参量，否则方程不具有普遍意义. 2.方程的建立 a.自由粒子的Schr?dinger方程 自由粒子的波函数： 该波函数对时间的导数： 该波函数对空间的导数为： 同理， 整理有： 即 对于自由粒子能量和动量之间的关系为： 综合以上三式有： --------------自由粒子的Schr?dinger方程 b.一般力场的Schr?dinger方程 由（1）（2）两式可以看出，粒子能量和动量作用在波函数上和下列算符相当： 我们一般写为： 那么， 对于自由粒子， 两边都乘上波函数 用算符表示为 类比，对于一般力场 其中代表粒子所受到的势能函数，今后如不特别说明，势能函数总为实数，即 这样，E. Schrodinger在1926年建立了非相对论粒子的波函数随时间演化的方程 在理论力学中，系统的哈密顿量，如果令 则Schrodinger方程可表示为 其中代表粒子的Hamilton量。 由此可见，从自由粒子的复数形式出发，得到了Schr?dinger方程 在经典力学中，力是改变粒子状态的动力学原因。而在量子力学中用势能表示相互作用，波函数随时间的演化由Hamilton量决定。看来，与动量和角动量相比能量所起的作用更为重要。 几点说明： 粒子的质量，对于静质量为零的粒子，这个方程不能处理。 b.对于由多个粒子组成的体系，所以多粒子体系的Schr?dinger方程为： c.这个方程既含有时间有含有空间，是时空结合的一个方程。 d.知道t＝t0时刻的波函数 ，由薛定谔方程可以求出t时刻的波函数 。 概率守恒 对于非相对论粒子体系，在状态随时间变化的过程中不发生粒子的产生和湮灭，粒子数守恒。就一个粒子而言，在整个空间发现这个粒子的概率恒等于1. 因此，满足Schrodinger方程的波函数，必蕴涵概率守恒的性质。 Schrodinger方程和它的复共轭分别为 （1） （2） 这里用到了。由得 由矢量运算法则可知，则上式可整理成 由此得到概率连续性方程 概率密度： 概率流密度矢量： 矢量的方向代表概率流动的方向，大小等于单位时间流过垂直于概率流动方向的单位面积的概率。概率连续性方程是概率守恒的微分形式。 [例]对以动量p沿着x轴运动的粒子，按照de Broglie假设可用下面的平面波函数来描写： 则可算出该粒子运动的概率流密度矢量为： 由此可见，的含义为概率流密度矢量。这可和经典物理中的电流密度矢量进行类比。 概率连续性方程两边乘上粒子的电荷，就是表示电荷守恒的电流连续性方程 电荷密度: , 其中 为粒子的电荷。 电流密度矢量: 在以封闭曲面为边界的体积内，对概率连续性方程的两边作积分并应用高斯定理 令，由于平方可积性，波函数在无限远边界面上趋于零从而趋于零，所以 即得概率守恒的积分形式 常数 上式表明，如果初始时刻波函数已归一化，那么任意时刻波函数也将保持归一化不变，波函数的归一化条件不随时间变化。 三、不含时Schrodinger方程 1．不含时Schrodinger方程 若势能不显含时间即，则Schrodinger方程可分离变量求解。令 代入Schrodinger方程分离变量得 其中是分离变量时出现的待定常数。时间因子代表简谐振动 上式指数中的代表角频率，因此常数具有能量的量纲。 空间因子满足的方程 称为不含时Schrodinger方程也称为定态Schrodinger方程。数学上，不论E为何值方程都有解（通解）。 但是物理上只有当E取某些特定值时方程的解才可能满足波函数的单值、有限和连续的条件，这些解才有物理意义（特解）。这些特定的E值称为能量本征值 ( 能量算符的本征值，代表能量; ( 与本征值相应的本征波函数。 不显含时间的称为能