dgfvagafrg.docVIP

第四章 BCH码与RS码 第一节 数学基础（多项式域和循环群） 既约多项式：对于某数域上的多项式，若除常数C及C外，不能被该数域上的任何其他多项式整除，则称为该数域上的既约多项式。 本原多项式：对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能被它整除的最简多项式（x）的次数n，则称该多项式为本原多项式。 多项式循环群：由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群。多项式是群的元素之一，称为该循环群的生成元。 如构成乘运算下的无限循环群。若，则产生以为主值的周期性，称为乘运算下由7个元素组成（7阶）的有限循环群。 二、有限循环群 Th 4.1 (多项式域存在定理)：若是GF(q)上的m次既约多项式，则GF(q)域上次数小于m的多项式的全体，在模q加、模运算下构成一个qm阶的有限域，称为GF（q）域的扩域，记为GF（qm），GF（q）是扩域GF（qm）的基域。 比如二元域上的多项式在模2加、模x2+x+1乘运算下构成一个多项式扩域GF（22）={0，1，x，x+1}，该扩域的基域是GF（2）={0，1}。 基域GF（q）是数域，由q个元素组成，扩域GF（qm）则是多项式域，由qm个元素组成。 Th4.2、若P（x）是GF（q）上的m次本原多项式，则GF（qm）域上次数小于m的全体（共qm -1个），在模P（x）乘运算下构成一个多项式循环群。也就是说，扩域GF（qm）里至少存在一个本原元（代表一个次数小于m的多项式），它的各次幂构成了扩域GF（qm）的全部非零域元素。 结论：以GF（q）上的多项式f（x）为模的乘运算可生剩余类环，以既约多项式为模的乘运算可生成多项式域，以本原多项式P（x）为模的乘运算所生成的非零域元素可以构成多项式循环群。 注：多项式剩余类环非零域元的逆元不一定存在，而多项式域都能保证此性质。 Th4.3：GF（q）上的本原多项式P（x）在扩域GF（qm）上的根一定是本原元。 Th4.4、GF（qm）扩域上非零元素{k=0，1，2……qm-2}的阶一定是qm-1的因子，其值为： （阶数）n=（qm-1）/GCD（k，qm-1） 推论：循环群中，n阶元素的n次幂恒等于1。 以下例说明二元扩域GF（2m）和循环群的构成及域元素性质。 例4.1 P（x）=x4+x+1是GF（2）上的本原多项式。试用本原元的各次幂生成二元扩域GF（24）的全部域元素并计算各元素的阶。 解：令为本原多项式P（x）=x4+x+1的根，m=4，则 即，因为又是本原元，其阶n=2m-1=15，由Th4.4推论可知。 的各次幂可生成GF（24）的全部域元素，且这些域元素构成一个循环群。 表4.1本原多项式P（x）=x4+x+1的根生成的循环群。 多次幂 α的多项式的 多项式系数 元素的阶 αk m重 15/GCD（k，15） α0 1 0001 1 α1 α 0010 15 α2 α2 0100 15 α3 α3 1000 5 α4 α+1 0011 15 α5 α2+2 0110 3 α6 α3+α2 1100 15 α7 α3+α+1 1011 15 α8 α2+1 0101 15 α9 α3+α 1010 5 α10 α2+α+1 0111 3 α11 α3+α2+α 1110 15 α12 α3+α2+α+1 1111 5 α13 α3+α2+1 1101 15 α14 α3+1 1001 15 元素