3工程试验设计讲稿(第三章方差分析)OK.doc

第三章 方差分析 方差分析(analysis of varianceANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验第一节 单因素试验的方差分析 一 基本原理 单因素试验方差分析又称一元方差分析，用于讨论一种因素对试验指标有无显著性影响。 假设：因素A有r中水平A1、A2、…、Ar，每种水平对应的试验指标服从正态分布。如果在各水平下分别做了ni（i=1，2，…，r）次试验，如表3-1所示。通过方差分析可判断因素A对试验指标是否有显著影响。 表3-1 单因素试验数据表 试验次数 A1 A2 … Ai … Ar 1 2 . . . j . . . ni x11 x12 . . . x1j . . . x1n1 x21 x22 . . . x2j . . . x2n2 … … … … … … … … … … xi1 xi2 . . . xij . . . xini … … … … … … … … … … xr1 xr2 . . . xrj . . . xrnr 表3-1中的任一数据都可表示为xij（i=1，2，…，r；j=1，2，…，ni），其中i表示因素A的第i个水平，j表示i水平上的第j次试验。例如，x12表示第1水平的第2次试验对应的指标。 二 方差分析步骤 1 计算平均值及和 1.1 组内平均值及组内和 将一个水平看做一组，令为第i水平上所有试验指标的算术平均值，称为组内平均值，即 ，（i=1，2，…，r） 则，组内和为 1.2 总平均值及总和 总平均值为所有试验指标的算术平均值，即 2 计算离差平方和 单因素试验中，各试验指标之间存在差异，其可用离差平方和来表示。 2.1 总离差平方和 总离差平方和用SST（sum of squares for total）表示，即 它表示各试验指标与总平均值的偏差的平方和，反映试验指标之间存在的总差异。 2.2 组间离差平方和 组间离差平方和用SSA（sum of squares for factor A）表示，即 它反映了各组内平均值之间的差异程度，这种差异是由因素A的不同水平的不同作用造成的。 2.3 组内离差平方和 组内离差平方和用SSe（sum of squares for error）表示，即 它反映了在某水平内，各试验指标之间的差异程度。这种差异是由于随机误差的作用产生的，所以其又称为误差项离差平方和。 经证明，以上离差平方和之间存在关系，即 它说明试验指标之间的总差异来源于两个方面，一是由于因素取不同水平造成的差异，一是由于随机误差造成的差异。 3 计算自由度（degree of freedom） 由离差平方和的计算公式可知，在相同的误差条件下，试验数据越多，离差平方和就越大，因此仅用离差平方和反映试验指标之间的差异还是不够的，还应考虑数据的多少对离差平方和的影响。为此，引入自由度概念。 3.1 自由度定义 统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时， 样本中独立或能自由变化的资料的个数，称为该统计量的自由度。 例如，在估计总体的平均数时，其中任何一个数据都和其他数据相互独立，从其中抽出任何一个数都不影响其他资料。 因此一组资料中每一个资料都是独立的，所以自由度就是估计总体参数时独立资料的数目，而平均数是根据n个独立资料来估计的，因此自由度为n。 但是，如果样本的平均数已知，则只有（n-1）个数据是独立的，所以此时样本的自由度为（n-1）。 3.2 自由度计算 总自由度： 组间自由度： 组内自由度： 显然，自由度之间存在如下关系 4 计算均方 均方，即平均平方（mean squares），是离差平方和与对应自由度的比值。 组间均方（水平间均方）MSA（mean squares between groups）的计算公式为 组内均方（或误差均方）MSe（mean squares within groups）的计算公式为 5 F检验 统计量F是组间均方与组内均方的比值，它服从自由度为（dfA，dfe）的F分布（F distribution）。即 检验时，对于给定的显著性水平?，从附表2中查得其临界值F??dfA,dfe)，然后进行比较：如果FA F??dfA,dfe)，说明因素A对试验指标的影响显著；如果FA≤F??dfA,dfe)，说明因素A对试验指标的影响不显著。 为了将方差分析的过程表现得更清楚，通常将有关计算过程列成方差分析表，如表3-2所示。 表3-2 单因素试验的方差分析表 差异来源 SS df MS F 显著性 组间（水平间） 组内（误差） 总和 SSA SSe SST r-1 n-r n-1 MSA