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新课标高中数学基础知识 求数列通项公式常用方法 云南昭通 昭翼培训学校 陈培泽 掌握求数列通项公式的常用方法，是学习好数列这章知识的关键，高中新课标要求必须掌握的方法有哪些呢？ 观察-猜想-验证法： 例.观察数列，写出它们的一个通项公式， （1） （2） （3） 解：（1）观察分子：可以用表示；再观察分母：可以用表示，这样数列通项就可以表示为：，最后逐项验证，都成立，就完成了。 (2)一下观察不出规律，先把系数和分式分开，系数为；再观察分式：也难观察出规律，估计是约掉了公因数，把每一项表示成分数，再把分子分母同乘以2或3，…等，并且容易看出要使分子，分母，逐项增大，再进行观察：，这时容易得出结论了，. （3）变形为：， 再变形为： 再变形为：，所以. 小结：(1)并不是每一个数列都可以写出它的通项公式，例如：的不足近似值构成的数列。 (2)数列即使有通项公式，通项公式也并不唯一，例如：；，都是这个数列的通项公式。 2.已知是等差或等比数列，求 例（1）已知数列是等差数列，公差,为数列前n项和，满足，求通项公式. 解：数列是等差数列，满足，令. 令，，或或. 或或. (2)已知等比数列满足求数列的通项公式。 解：设数列首项为，公比为q, ，，代入 解得或，或，或. 小结：在已知数列是等差或等比数列的情况下，一般用前三项建立方程，就可求得通项，要防止小题大做。 求递推数列通项公式，常见题型和方法有： 3. 形如：，用累加法： 例：数列，，求通项公式. 解：，用用累加法： = . 小结：注意在变形题中，使用累加法，例如： 题型，两边取对数，得： ，就可以使用累加法了。 练习：（1）已知数列满足：，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 4．形如：用累乘法： 例：已知数列满足：，，求. 解：设，则，两式相减，得：， 即：， . 小结：累乘法和累加法都是新课标中要求掌握的重要方法，要熟悉其变形题，, ，等。 练习：（1）已知数列满足：，求通项公式. （2）已知数列满足：，求通项公式. 5.形如：（其中p，q均为常数，）用待定系数法; 设，即：，比较，得：. 例：（1）已知数列满足：，，求通项公式. 解：，，是首项为， 公比的等比数列，. 练习：在数列中，若，则该数列的通项_______________ 6.形如：（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 设，比较：， . 例：（1）已知数列中，,，求. 解：设，，， 比较得：，是首项为，公比为的等比数列。 所以数列通项公式为：. （2）已知数列中，，，求. 解：因，由公式，所以数列是首项为， 公比为的等比数列，所以通项为. 小结：（1）符合题型时直接代公式，是变形题时用待定系数法。 （2）用构造法：例：已知数列中，，求. 解：两边同除以，整理得： 是首项为，公比为的等比数列，，. 练习：（1）已知数列中，，求.（建议用不同方法解同一题，学习效果会更佳。） (2)若已知数列中,，求 7. 递推公式为与的关系式。(或) 解法：这种类型用与消去 或用代入，求出，再求. 例：(1)已知数列前n项和，，求. 解：，，后式减前式，得：， ，是首项为，公比为的等比数列。 . (2)已知是数列的前n项和，，求 解：时有：，. ，又是公差为2，第二项为3的等差数列， ，，代入，化简，得：，. 小结：只有时才成立，若从第二项起是等差数列，用 是等比数列用求（）再验证是否成立，若成立，写出通项；若不成立就用分段式表示。 练习： 已知是数列的前n项和， ，求. 8.形如：式，两边同乘以—转换方法 解：对：两边同乘以，移项，得：， 数列是公差为，首项为的等差数列。，取倒数，有： . 例：已知数列，求数列的通项公式。 解：本题可仿照上边方式推出结果，也可以利用公式，代入，得：. 小结：（！）题型可以变换，例如：，只是形式上不同，实质一样，只需等式两边取倒数就行了。一般以分式形式出现的变式，都是本题类型，大家不妨推导出通项公式。 9.形如类型： 举例说明，已知数列，，，求数列的通项公式. 解：，令： (1) (2) (3) 由（2）—（1），得：，数列的奇数项构成公差是3，首项是1的等差数列，. 由（3）—（2），得：，数列的偶数项构成公差是3，首项是3的等差数列， . 10. 通过求数列周期和运用数学归纳法求通项： 对于某些数列不易直接求出通项时，可以先求出，看是不是存在周期，如果存在就可以求出，如果不存在，再归纳出，最后用数学归纳法证明。 例：(1)已知数列满足，求， 解： 存在周期，,. (2) 已知数列，，，求数列的通项公式. 解：猜想：现在用数学归纳法予以证明。 当时，左边=右边=2，结论成立。 当时，假设结论