数列通项公式的求法(经典).docVIP

数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 解：设数列公差为 ∵成等比数列，∴，即 ∵， ∴………………………………① ∵ ∴…………② 由①②得：， ∴】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。 例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。 解：由 当时，有 ……， 经验证也满足上式，所以 点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并． 三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 类型2 （1）递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 注：由和确定的递推数列的通项还可以如下求得： 所以， ，，依次向前代入，得 ， 类型3 递推式： 解法：只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式 ①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例5. 已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则, 所以. ②为一次多项式，即递推公式为 例6．设数列：，求. 解：设，将代入递推式，得 …（１）则,又，故代入（１）得 备注：本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之. ③ 为的二次式，则可设; 类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得： 引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。 例7. 已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,应用例7解法得： 所以 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。 例8. 已知数列中，,,，求。 解：由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即 又，所以。 1．在数列中，，，求.　 ∵，　　　　　当时，　　　　　，?　　　　　，　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　将上面个式子相加得到：　　　　　　　　　　∴（），　　　　　当时，符合上式　　　　　故.2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.　　 由题意　　　　　∴　　　　　∵，∴，　　　　　∴，　?　　　　　∴，又，　　　　　∴当时，，　　　　　当时，符合上式 【变式2】已知数列中，，，求通项公式.　　 由得，∴?，　　　　　　 ∴，　　　　　 　∴当时，　　　　　 　　　　　　　　?　　　　　　当时，符合上式　　　　　　∴3．数列中，,，求.　　 对两边同除以得即可. ∵，∴两边同除以得，　　　　　∴成等差数列，公差为d=5，首项，　　　　　∴，　　　　　∴. 4．已知数列中，，，求.　　法一：设，解得　　　　　即原式化为　　　　　设，则数列为等比数列，且　　　　　∴　　法二：∵　 ①　　　　　　 ②　　　　　由①－②得：　　　　　设，则数列为等比数列　　　　　∴　　　　　∴　　　　　∴　　法三：，，，……，　　　　　，　　　　　∴【变式1】已知数列中，，求　　【答案】令，则，　　　　　　∴，即　　　　　　∴，　　　　　　∴为等比数列，且首项为，公比，　　　　　　∴，　　　　　　故.　　【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.　　【答案】∵，∴　　　　　　设，则，即，　　　　　　∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，　　　　　　∴，∴.　　　　 　 ∴.5．已知数列中，是它的前n项和，并且,?