平面向量的坐标运算;平面向量共线的坐标表示.docVIP

§2.3.3 平面向量坐标运算 §2.3.4 平面向量共线及坐标表示 教材分析 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解坐标运算、向量共线的坐标表示. 教学目标 重点: 平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示 难点：对平面向量坐标运算的理解，应用向量共线证明三点共线和两直线平行的问题． 知识点：向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，向量共线的坐标表示． 能力点：通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力． 教育点：使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 自主探究点：向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则. 考试点：证明三点共线和两直线平行的问题. 易错易混点：向量共线的坐标表示 拓展点：定比分点的坐标表示 教具准备 三角板、圆规 课堂模式 学案导学 复习引入 １．平面向量的基本定理 ２．平面向量的坐标表示 ３．平面向量的共线定理 【师生活动】教师设问，学生思考. 【设计意图】复习旧知识，引出新知识。 二、探究新知 思考1：若设=(, ) =(, )，你能得出＋，－，（）的坐标吗？ 生：＋＝, 由向量线性运算的结合律和分配律，可得 =(＋)＋(＋)， 即 　　　　　　　　=（＋，＋）． 　　同理可得 －＝（－，－）． 师：就是说，两个向量（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）． 生：　　　　　， 即 　　　　　　　　　 师：就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 【设计意图】推导公式，明确运算法则． 思考２：如图已知点，如何求的坐标？ 解： 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标． 【设计意图】通过向量的减法运算．说明一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标． 思考３：共线向量的条件是当且仅当有一个实数使得=，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 设=(,) =(,)（ (） 其中( 由= ， (,) =(,) 消去：－= 结论：∥ (()－= 三、理解新知 1．任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。 2．当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标 ３．平面向量共线定理中注意： （１）消去时不能两式相除，∵有可能为0， ∵(，∴中至少有一个不为0. （２）不能写成 ∵有可能为0. （３）从而向量共线的有两种形式：∥ (() 【设计意图】总结知识点，加深理解，突破重难点 四、运用新知 例1 已知=(2,1), =(－3,4),求 ＋，－，3＋4的坐标. 解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， －＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)， 3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19). 变式训练1：已知，，求，的坐标； 【设计意图】利用平面向量的坐标运算法则直接求解． 例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点、、的坐标分别为、，求顶点的坐标。 解：设点的坐标为, 即 解得 所以顶点的坐标为． 另解：由平行四边形法则可得 所以顶点的坐标为． 【设计意图】考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 例３. 已知，，且，求． 解：∵，∴．∴． 变式训练２：已知平面向量 ， ，且，则等于_________. 【设计意图】：利用平面向量共线定理坐标形式直接求解. 例４: 已知，，，求证:、、三点共线． 证明： ，， 又，∴.∵直线、直线有公共点， ∴，，三点共线。 变式训练３：若，，三点共线，则的值为_________. 【设计意图】:给出了判断三点共线的常用方法，若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 例５:设点是线段上的一点， 、2的坐标分别 是(,)，(,)．. 当点是线段的中点时，求点的坐标； 当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 解：（1）如图2.3-14，由向量的线性运算可知 所以，点的坐标为 （2）如图2.3-15，当点是线段的一个三等分时,有两中情况