向量、三角函数.docVIP

知识点一：向量的线性运算与坐标运算 向量的概念及表示：零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 向量的运算：交换律、结合律、坐标运算、数乘运算 三角形不等式：． 1.加减运算性质：①交换律：； ②结合律：；③． (坐标运算：设，，则． 2.数乘运算： ⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作． ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，． ⑵运算律：①；②；③． ⑶坐标运算：设，则． 3.向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使． 设，，其中，则当且仅当时，向量、共线． 4.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底） 5.分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当 题型一：向量的线性运算 例1.（1）下列命题中正确的是 （D） A． B． C． D． 提示：起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，； 是一对相反向量，它们的和应该为零向量， （2）化简得 （ ） A． B． C． D． 提示： （3）若为的内心，且满足，则的形状为（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 （4）已知向量的模分别为，则的取值范围是 . 提示：同向时为，反向时为. 【课内练习】 1.设都是单位向量，则下列结论中正确的是 （ ） A． B． C． D． 2.已知正方形的边长为，，则 （ ） A. B. C. D. 提示：， ∴. 3. 已知向量，且，则 .(用表示) 题型二：向量的坐标运算 例2.设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（C） A． B． C．或 D．无数多个 提示：设，则，由得，或. 【课内练习】 1.若平面向量与向量的夹角是，且，则 ( ) A． B． C． D． 2.若三点共线，则有 （ ） A． B． C． D． 3. 设向量若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为 ( ) A.（1，－1） B.（－1， 1） C. （－4，6） D. （4，－6） 知识点二：向量的数量积 重要公式： ⑴．零向量与任一向量的数量积为． ⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③． ⑶运算律：①；②；③． ⑷坐标运算：设两个非零向量，，则． 若，则，或． 设，，则． 设、都是非零向量，，，是与的夹角，则． 题型三：向量的数量积 例1.，向量的夹角为，则 . 提示：， ∴. 例2.已知,,当为何值时， （1）与垂直？ （2）与平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：, （1）， 得 （2），得 此时，所以方向相反。 【课内练习】 1.已知向量和实数，下列等式中错误的是 （ ） A. B． C． D． 提示：，可知是错误的. 2. 已知平面向量，，且，则 （ ） A． B． C． D． 3. 若，则与垂直的单位向量的坐标为 . 题型四：平面向量的综合运用 例1.若向量与直线垂直，则称向量为直线的法向量，则直线的一个法向量是（