20152016厦门大学网络教育线性代数复习题A(含答案).docVIP

厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期 《线性代数》复习题A 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．行列式（ ）。 A．； B．； C．； D．。 2．中的（ ）时，。 A．或； B．； C．； D．。 3．若两个维向量组和均线性无关，则向量组（ ）。 A．线性相关； B．线性无关； C．可能线性相关也可能线性无关； D．既不线性相关，也不线性无关。 4．设，是非齐次线性方程组两个不同的解，，是对应齐次线性方程组的基础解系，，是任意常数。则非齐次线性方程组的通解是（ ）。 A．； B．； C．； D．。 5．设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一特征值等于（ ）。 A．； B． ； C．； D．。 6．下列命题错误的是（ ）。 A．与自己正交的向量一定是零向量； B．正交矩阵的行列式只能为1； C．阶实对称矩阵的特征值一定是实数； D．若满足，其中为零矩阵，为单位矩阵，则一定可逆。 二、填空题(每小题3分,共18分) 7．设方阵为3阶矩阵，，则 。，，的极大线性无关组是2 ，则 。中有5个未知数，且，则的基础解系中向量的个数为 个。 10．若二次型的秩为，则 。 11．设，则 ， 。及，都不可逆，则的特征多项式为 。，其中是阶行列式，主对角线上的元素为，其余元素都是。 14．求解矩阵方程（10分） 设，是伴随矩阵，矩阵满足，求矩阵。 15．线性方程组的计算（12分） 设有线性方程组，问取何值时，此方程（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。 16．求过渡矩阵与坐标（12分） 在中，求由基，，通过过渡矩阵 所得到的新基，，（4分），并求在基，，下的表达式（8分）。 17．用正交线性变换化二次型为标准型，并求出所作的正交线性变换（20分） 已知二次型的秩为2，其中，二次型矩阵的特征值之和为，特征值之积为。 说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出，的值和二次型的矩阵的所有特征值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换和标准型（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．D。 解：可用行列式的定义计算。更为简单地，也可以按第一列展开直接计算如下： 。 2．A。解：由～～，又，故，则或。 3．C．解：若，，，则 ，和，线性无关，但，线性相关。又若，，，，，线性无关，故选C。 4．B。解：根据非齐次线性方程解的结构定理知，的通解应为，其中，是常数，，是对应齐次线性方程组的基础解系，又，线性无关，则，是的基础解系，为的一个特解。显然，所以是的一个特解，故选B。 5．B。解：由非奇异知，而，则可逆。设是相应于的特征向量，则，那么，于是。所以是矩阵的一个特征值。 6．B。解： A．设是与自己正交的向量，即，故必有，故A正确。 B．错误，设为正交矩阵，则知，即，所以，则B错误。 C．正确，阶实对称矩阵的特征值一定是实数（见定理5.7） D．正确，，故一定可逆。 二、填空题(每小题3分,共18分) 7．解：由知可逆，故 。 8．解：，根据题意右边最后一个矩阵的列秩为2，即矩阵的秩为2，故。 9．因为，，所以的基础解系中向量的个数为。 10．解：由于二次型矩阵为，对二次型矩阵做如下行变换～，又二次型的秩为，所以，则。 11．解：由，则，又，知 12．解：因为3阶方阵及，都不可逆，则有 于是 ， ， 。 因此矩阵的特征值为，，，所以矩阵的特征多项式为： 。 三、计算题(共64分) 13．解：将各列都加到第一列得 再将第一行乘以分别加到其余各行，得 。 14．解：由于，在方程组两端左乘以可得，于是。由于，则 ， 而，所以可逆，则。 ， 因此，于是。 15．解：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有 。 （1）当且时，，方程组有唯一解。 （2）当时，，，方程组无解。 （3）当时，，方程组有无限个解， 这时， ， 由此便得通解 （可任意取值） 即 ，()。 16．求过渡矩阵与坐标（12分） 在中，求由基，，通过过渡矩阵 所得到的新基，，（4分），并求在基，，下的表达式（8分）。 16．解