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概率与统计(教师版) 2013年12月30日 1．小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋. (1) 写出数量积X的所有可能取值 (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 【答案】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1． (2)数量积为-2的只有一种 数量积为-1的有,六种 数量积为0的有四种 数量积为1的有四种 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为 因为去唱歌的概率为,所以小波不去唱歌的概率 2． 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从B组100人中抽取6人,即从50人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人. (Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为· B组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为· 现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率. 所以,从A,B两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为. 3． 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 【答案】解:(Ⅰ)变量是在这个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能. 当从这12个数中产生时,输出y的值为1,故; 当从这8个数中产生时,输出y的值为2,故; 当从这4个数中产生时,输出y的值为3,故. 所以输出的值为1的概率为,输出的值为2的概率为,输出的值为3的概率为. (Ⅱ)当时,甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如下, 输出的值为1的频率 输出的值为2的频率 输出的值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大. 4．某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率. 【答案】 5．某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量(单位:kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示: 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米. (Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量; (Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点, 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是