三补充矩形单元.pptVIP

* 矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元1234如图3-9所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用§3-2节中的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系?、?，那么就可以推出比较简洁的结果。 第六节 矩形单元 图3-9 矩形单元1234 返回 　　在图3-9中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，?和?轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系 (3-48) 式中 其中 (xi , yi）是节点i的整体坐标，i =1,2,3,4。 返回 　　在局部坐标系中，节点i的坐标是(?i , ?i )，其值分别为±1。取位移模式 　　将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数?1，?2，…，?8，再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式 (a) (b) 其中 (c) 返回 　　式中 ?0 =?i ?，?0 =?i ?，i =1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有 式中 (d) 由几何方程可以求得单元的应变 (e) (f) 返回 将(b)式代入，得 (g) 式中 (i=1,2,3,4) (3-49) 由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即 (3-50) 返回 式中 (i=1,2,3,4) (h) 对于平面应力问题 (3-51) 若将单元刚度矩阵写成分块形式 (3-52) 返回 则其中的子矩阵可按下式进行计算 (i) 如果单元厚度t是常量，则 (i, j =1,2,3,4) (3-53) 　　同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、?分别换成E / 1-? 2 和? / 1-? 即可。 返回 *