授课题目线性方程与常数变易法授课类型理论课首次授课时间2011.doc

授课题目 线性方程与常数变易法 授课类型 理论课 首次授课时间 2011年 3 月7 日 学时 2 教学目标 掌握线性齐次与非齐次方程的概念及方程的解法，掌握利用常数变易法解非齐线性方程，掌握Bernoulli方程的解法；掌握恰当方程的定义、恰当方程的充要条件，了解其证明过程，掌握恰当方程的求解。 重点与难点 常数变易法解非齐线性方程，Bernoulli方程的解法，恰当方程的求解 教学手段与方法 讲授与实例结合 教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分内容时间分配㈠授课思路㈡过程设计 ⒈稳定课堂秩序，组织教学； ⒉引入新课； ⒊讲授新课 ⒋课堂练习与讨论 ⒌课堂小结与布置作业 ㈢讲解要点及各部分具体内容一阶线性微分方程????本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型.一阶线性微分方程的形式是????????????????????????????????????????????（1.34）如果 ，即????????????????????????????????????????????????(1.35)称为一阶线性齐次方程.如果不恒为零，则称(1.34)为一阶线性非齐次方程. 在所讨论的区间上为连续函数。 2. 一阶线性非齐次方程的通解????先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同，这里指的是在(1.34)中不含“自由项” ，即 .显然，(1.35)是一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是??????????????????????????????????????????????????(1.36)下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当C 为常数时，函数(1.36)的导数，恰等于该函数乘上- p(x),从而(1.36)为齐次 方程(1.35)的解.现在要求非齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于 .为此，联系到乘积导数的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为 函数C(x)，即令???????????????????????????????????????????????(1.37)为方程(1.34)的解，其中C(x)待定.将(1.37)代入(1.34)，有??????????即 ????积分后得? 把上式代入(1.37)，得?????????????????????????????(1.38)(1.34)的通解，且包含了(1.34)的所有解。 由通解定义知（1.38）为(1.34)的通解，设为(1.34)的任一解，则易知 也为(1.34)的解，则为?(1.35)的解，从而存在确定的常数，使得，即 在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.????例1 求解方程??????????????????????????????????????????????????(1.39)????解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程? 的通解为???? ?????????????????由常数变易法，令为方程(1.39)的解，代入(1.39)有即????????????????????????????积分得???????????????????? 代回后得原方程(1.39)的通解为 例2 求方程 （为常数）的通解。 解 改写方程为 （1） 先求齐线性方程的通解，分离变量求得通解为。 令，，代入（1）得 ，。 故原方程的通解为。????例 求解方程?????????????????????????????解 显然这也是一个一阶线性非齐次方程. 先解对应齐次方程?????????????????????????分离变量后再积分有?????????????????????????????即???????????????????取指数后，得齐次通解????????????????????????? 由常数变易法，令?????????????????????????为非齐次方程(1.40)的解，代入后得????????????????????即??????????????????????? 积分得??????????????????? 于是原方程(1.40)的通解为?????????????????????????仔细看一下非齐次方程(1.34)的通解公式(1.38)，我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解.因此有如下的结论：线性非齐次方程(1.34)的通解，等于它所对应的齐次方程(1.35)的通解与非齐次方程(1.