双曲型守恒律组的高阶Godunov格式-LSEC.doc

双曲型守恒律组的高阶Godunov格式 丁岩 Godunov格式简述 模型方程为下述双曲型守恒律组： (1.1) 其中，。 假设所采用的是均匀网格，是网格宽度。 给定时刻的单元均值分布，构造分片常数分布函数： ，当 在每个cell边界处，（近似）求解如下初始条件的Riemann问题： ， (1.2) 对充分小的时间步长（满足条件），记，可得到具有相似特性的近似解 ，， 从而有整个计算区域内的近似解：，， 将它代入(1.1)式，并在，上积分有： 注意到是Riemann问题(1.2)沿射线，的解，因而是一常数，于是得到如下Godunov格式： ，其中 （1.3） 在Fig.1中给出了利用Riemann问题的解计算Godunov通量时需要考虑的十种情形之一。 Fig.1 2．二阶Godunov格式（MUSCL） MUSCL通过以下步骤计算数值通量，以实现Godunov格式的二阶推广。 STEP（1）：Data Reconstrunction. 不同于Godunov格式采用分片常数插值，这里在每个cell 中，由时刻的均值构造分片线性函数，即 ， (2.1) 是适当选择的在上的斜率(slope)矢量（差分形式），在的两个端点处的值为： ， (2.2) 称之为boundary extrapolated values. 注意到对于Euler方程(1.1)，和是具有三个分量的矢量，因而(2.2)中实际有六个boundary extrapolated values. STEP（2）：Evolution. 在每个cell 中，将由(2.2)给出的boundary extrapolated values按如下格式在时间上推进： 在每个cell边界点处现在存在有两个通量和，而且他们一般来说是不同的，但这一步只是中间步骤，因而不会影响整个格式的守恒特性。 STEP（3）：The Riemann Problem 为计算cell间的通量，可以通过求解如下初始条件的Riemann问题： ， 来得到相似性解，则数值通量可以按照Godunov格式中完全相同的方式(1.3)来得到，即 (2.3) (2.4) 注：关于斜率的选择 在(2.1)和(2.2)中，可以简单的取作 其中 ，且 (2.5) 当时，上述格式正是二阶的Fromm方法。根据Godunov定理，在大梯度变化区域，上述格式将产生数值振荡。所以(2.5)中的取法不能保证格式的TVD性质。 可以采用如下的替代上面的 其中的是一斜率限制子(slope limiter)，采用如此的格式(2.4)对于满足以下条件的是TVD的： ，；， 其中 基于此，可以构造以下满足上述条件是斜率限制子： Superbee slope limiter: Van Leer-type slope limiter: Minbee-type slope limiter: Fig.2 各种限制子与TVD区域间的关系（red: Superbee,blue: Vanleer,mauve: Minbee） 3．三阶Godunov格式（PPM） PPM方法(piecewise parabolic method)是Cella和Woodward(1984)所研究的一种三阶Godunov格式。它的主要特点是采用二次多项式函数作为网格内部的基本插值函数，来代替Godunov所采用的常数函数和Vanleer所采用的线性函数。 先讨论单个线性方程情况： ， (3.1) 网格的空间步长可以是不等距的。 已知时刻的离散分布，如解在网格中的平均值。假设根据构造了分段抛物线函数： （3.2） , 利用 ， Fig.3 blue:interpolated function;red:initial cell average;green:new ave