连续型随机变量及其概率密度讲义.pptVIP

证 得 则 由此知 定理1 正态分布的计算 原函数不是 初等函数 转化为标准正态分布查表计算 有 例8 设X ～ N(1.5，22)，求P{-1≤X≤2}。 解: 查表得：(3-c)/2=0.43, 即c=2.14 例9 设X～N(3,4)，求数c，使得 P{Xc}=2P{X≤c}. 解: 从而， P{Xc}=1-P{X≤c} =2P{X≤c} 因此，P{X≤c}=1/3 =1/3 例10 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 容器内. 是一个随机变量, (2) 若要求保持液体的温度至少 解 (1) 所求概率为 即 亦即 故需 例11 说明：X~ N(μ, σ2)落在(μ-3σ, μ+3σ)内的概率为0.9974, 这一事实称为“3σ规则” 。 2）P{|X-μ|2σ} 3）P{|X-μ|3σ} =2Φ(2)-1=0.9544 =2Φ(3)-1=0.9974 =2×0.8413-1 对于标准正态随机变量, 的定义. 分布函数 三、小结 2.常见连续型随机变量的分布 均匀分布 正态分布 指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量. 3.正态分布是概率论中最重要的分布 　　二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布．所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布. 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结 第三节　连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 1.概率密度函数的定义 存在 概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数. 2.概率密度函数的性质 反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。 几何意义：曲线y= f(x)与x 轴之间的面积等于1． 同时得以下计算公式 几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1X≤x2}等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积． 1 3．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系 (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为 (2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x). 注意 对于任意指定值 a, 连续型随机变量取 a的概 率等于零. 即 证明 连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关 注意 若X是连续型随机变量， { X=a }是不可 能事件， 则有 连 续 型 若 X 为离散型随机变量, 离 散 型 例1 其他. (3) 求 解 得 解得 其他. 其他. (3) 即 练习 设随机变量X具有概率密度 (1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X0.1}。 解: (1) 由于 , 解得k=3. 于是X的概率密度为 (2) 例2 确定常数A，B使得函数 为连续型随机变量X的分布函数,并求出X的概率密度. 解: 由分布函数的性质知 又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2. 于是X的分布函数为： X的概率密度为 所以B=1. 二、常见连续型随机变量及其概率分布 (一)均匀分布 其他, 概率密度函数图形 分布函数 均匀分布的意义 例3 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率. 解：设A为乘客候车时间超过10分钟，X为乘客于某时X分钟到达， 例4 设随机变量X 服从区间[-3，6]上的均匀分布，试求关于t 的方程 有实根的概率． 解：随机变量 的概率密度为 方程有实根，当且仅当 即， 解得， 是常数，则称X服从参数为 (二) 指数分布 其他. 记作 的指数分布. 随机变量X的分布函数为 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布. 应用与背景 例6 电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解 有 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. 该性质称为无记忆性. 的寿命, 那么上式表明: 与从开 这 就是说, 练习 设打一次电话所用时间X （单位：分钟）是以1/10 为参数的指数型随机变量. 如果某人刚好在你前面走进公用电话