数学也实验更精彩研究.doc

数学也实验，探究更精彩 -----例说基于《几何画板》的数学试题探究研究 摘要：本文主要从数学教学的角度出发，研究了以《几何画板》为实验平台进行高中数学探究实验活动。文章以一个数学习题为出发点，从习题解法探究开始，从纵向一般化、横向类比、逆向研究各方面详细阐述了如何利用几何画板进行数学探究实验，通过从特殊到一般的不断演化，实验，得出一般性的结论的过程。让学生在不断的参与实验探究的过程中进行猜想归纳、推理论证，达到提高数学课堂学习的效率，促进学生的动手能力与数学思维能力发展的目的。 关键词：数学探究实验； 几何画板； 纵向一般化； 横向类比； 逆向思维 高中数学课程提出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，…还应倡导自主探索、动手实践、合作交流…等学习数学的方式。高中数学…应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合”。《几何画板》是实现这一理念的有力工具。它最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。轴上的为准。 原题呈现： 人教A版高中数学选修2-1同步测控优化设计训练与测评P29第二章测评第5题： 已知P、Q是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点O到弦PQ的距离必等于（ ） A、 1 B、 C、 D、 二、探究过程 ㈠、解法探究 1、特殊法：（如图1所示）所示，点P、Q分别在Y轴、X轴上时，显然符合条件。此时，则，由 得、，故选C 2特殊法：（如图2所示）当PQ⊥X轴时，△POD为等腰直角三角形，，不妨设，由P在椭圆上有，解得，从而，即点O到弦PQ的距离为。 3、一般法：当直线PQ斜率不存在时，解法同特殊法2，点O到弦PQ的距离为。 当直线PQ斜率存在时，（如图3所示）设直线PQ为， 由可得 ， 有 即 化简得 所以由点到直线的距离公式有 综上所述，点O到弦PQ的距离必等于。 4、解后反思：对于一道数学试题，我们不应只满足于参考答案，我们应该引导学生充分运用所学知识，从各种角度对试题加以分析透视，这也是将试题运用于教学实验活动的前提，只有做好了充分的准备，才能应对学生提出的各种问题，正所谓“教师要给学生一杯水，自己得有一桶水”。 ㈡、纵向一般化探究 当解决了一道数学试题之后，我们应该引导学生思考：这道题目所体现的性质或结论背后是否能由特殊推广到一般情形？也就是试题的背后是否隐藏着一般性的规律？因而我们也就有： 探究1：已知P、Q是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点O到弦PQ的距离是否为一定值，若是，求这个定值；否则说明理由。 1、画板作图，直观感知：定义坐标系，点击工具栏“自定义工具”“圆锥曲线A” “椭圆（中心+顶点）”在坐标系上点击原点（为中心）及X轴上一点（为顶点，X轴上的顶点）即可构造出焦点在X轴上的椭圆。在椭圆上任取一点P，连结OP，选定点O与OP，于菜单栏上点击“构造”“垂线”，作出OP的垂线OQ交椭圆于点Q。连结PQ，过点O再构造OD垂直于PQ，垂足为D，则OD的长为点O到弦PQ的距离。选定点O、D，点击菜单栏“度量”“坐标距离”，则线段OD的长显示于屏幕左上角。（如图4所示） 2、画板操作，动态确认：选定并拖动点P，发现随着点P的移动，表示点O到弦PQ距离的线段OD的值始终保持不变。拖动点B1，改变椭圆的离心率后，再选定并拖动点P，发现随着点P的移动，OD的值仍是不随点P的移动而改变的一定值。 3、归纳探究，获取结论：若P、Q是椭圆上的两个动点，且OP⊥OQ，O为坐标原点，则点O到弦PQ的距离是定值。 4、证明：当直线PQ斜率不存在时，由椭圆的对称性及及已知可得△POQ为等腰直角三角形，所以OD=PD=DQ，D在X轴上，不妨设，由P在椭圆上有，解得，所以，即点O到弦PQ的距离必等于。 当直线PQ斜率存在时，（如图5所示）设直线PQ为， 由 有 即 化简得 所以 所以由点O到弦PQ的距离为。 综上所述，若P、Q是椭圆上的两个动点，且OP⊥OQ，O为坐标原点，则点O到弦PQ的距离必为。 5、解后反思：原试题只是我们所得结论的一个特殊实例。命题人只是令椭圆方程中，。这样，，即点O到弦PQ的距离必等于。 ㈢、横向类比性探究 相似的结构，常常可以类比出相似的结论。椭圆与双曲线是“姊妹”曲线，它们在很多方面有着相似的性质、相似的结论。所以我们