高中数学必修2-3第二章2.4正态分布讲义.docVIP

2．4　正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x)＝1\r(2π)σe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1\r(2π)σe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质： (1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称； (3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1σ\r(2π)； (4)曲线与x轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________0.682_________6； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________0.954_________4； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________0.997_________4． 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝(　　) A．0 B．σ C．－μ D．μ 答案：D 3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝(　　) A.15 B.14 C.13 D.12 答案：D 4．已知正态分布密度函数为f(x)＝12πe－x24π，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________． 答案：0　2π 正态分布的再认识 (1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布． (2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值． (3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则． 正态分布密度曲线 如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． [解]　从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12\r(π)， 所以μ＝20，1\r(2π)σ＝12\r(π)， ∴σ＝2. 于是φμ，σ(x)＝12\r(π)·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值1σ\r(2π)，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式． 扫一扫　进入91导学网() 正态分布密度曲线 1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14\r(2π) .求该正态分布的概率密度函数的解析式． 解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0. 由于1\r(2π)σ＝1\r(2π)·4，得σ＝4， 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝14\r(2π)e－x232，x∈(－∞，＋∞)． 　　　　　　　求正态分布下的概率 设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1＜X≤