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《抽象代数基础》 习 题 解 答 习 题 解 答 习习题题 解解 答答 于 延 栋 编 网 案 答 后 盐城师范学院数学科学学院 课 二零零九年五月 第一章 群 论 §1 代数运算 , 上的乘法 的乘法表如下: 1.设A={e,a,b,c} A “?” ···· e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 证明:“?”适合结合律. 证明 设 为 中任意三个元素.为了证明 适合结合律,只需证明 x, y, z A “?” (x? y)?z= x?(y?z). 下面分两种情形来阐明上式成立. I. 中至少有一个等于 . x, y, z e 当x= e时,(x? y)? z= y? z= x?(y? z); 当y= e时,(x? y)? z= x?z= x?(y?z); 当z= e时,(x? y)? z= x? y= x?(y?z). II. 都不等于 . x, y, z e 网 (I)x= y= z.这时,(x? y)? z= e? z= z= x= x?e= x?(y? z). 案 (II)x, y, z两两不等.这时,(x? y)? z= z? z= e= x?x= x?(y? z). 答 (III)x, y, z中有且仅有两个相等. 当 时, 和 是 中的两个不同元素,令 表示 中其余的 x= y x z {a,b,c} u {a,b,c} 后 那个元素.于是, , ,从而, . 课(x? y)? z= e? z= z x?(y? z)= x?u= z (x? y)? z= x?(y?z) 同理可知,当 或 时,都有 . y= z z= x (x? y)? z= x?(y? z) 2.设 是集合 上一个适合结合律的代数运算.对于 中元素,归纳定义 “?” A A n ∏ai 为: i=1 1 r+1 ? r ? a = a , a = a ?a .