量子力学 第二章素材.ppt

§2.1 波函数的统计解释 无介质的真空，不存在自由电荷与传导电流时 Schr?dinger 方程的引入 总结一维谐振子的计算 4.求出波函数=归一化 （1）Hamilton 算符 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符是相当的。这两个算符都称为能量算符。 再由 Schr?dinger 方程： （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （2）能量本征值方程 将 改写成 （2）量子力学中：常量 E 称为算符H 的本征值；Ψ称为算符H的本征函数。 （1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数——本征值方程 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： （1）列出定态 Schr?dinger方程 （2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数 （4）通过归一化确定归一化系数 Cn （三）求解定态问题的步骤 -a 0 a V(x) I II III 定态波函数为 §2.6一维无限深方阱 1.无限深平底势阱 （1）列出各势域的Schr?dinger 方程 -a 0 a V(x) I II III 方程可简化为： 宇称：空间的反演 -a 0 a V(x) I II III 根据边界条件 -a 0 a V(x) I II III 根据归一化条件 -a 0 a V(x) I II III 根据边界条件 波函数： 概率密度： 结论：在 n 很大时，能量趋于连续，这就是经典物理的图象。 能级： 是两个相反方向传播的平面波叠加成的驻波 线性谐振子的 Hamilton量： 弹性力F=-kx ,弹性势能 §2.6一维谐振子 则 Schr?dinger 方程可写为 ： Schr?dinger 方程写为 ： 为简单计算，引入无量纲变量ξ代替x， 此式是一变系数 二阶常微分方程 1. 渐近解 为求解方程，考虑其渐近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ ξ2，于是方程变为： 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件当ξ→±∞ 时，?＝0 ξ2 ± 1 所以：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 其中 u(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： ① 当ξ有限时，u(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，u(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。 2. u(ξ)满足的方程 3.级数解 我们以级数形式来求解。 为此令： 用 k 代替 k’ 由上式可以看出： a0 决定所有角标k为偶数的系数(偶宇称)； a1 决定所有角标k为奇数的系数（奇宇称）。 即： ak+2(k+2)(k+1)- ak 2k + ak(λ-1) = 0 该式对任意ξ都成立，故ξ同次幂前的系数均应为零， 从而导出系数 bk 的递推公式： 为此考察相邻两项之比： 考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性 所以波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数 u(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 u(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 an ≠ 0, an+2 = 0. 结论 基于波函数在无穷远处的 有限性条件导致了能量必须取 分立值。 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。基态能量 E0={1/2}?ω ≠0，称为零点能。能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。 厄密多项式 附加有限性条件得到了 u(ξ)的 一个多项式 该多项式称为厄密多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数为： 总波函数为： 根据递推公式 n = 0 n = 1 n = 2 波函数 E0 E1 E2 ? -3 -2 -1 0 1 2 3 分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 -1 0 1 ?20(ξ) ?20(ξ)) n=2 n=1 n=0 -1 1 ? -2 2 -4 4 |?10|2 ? 几率分布 1.“抓两头,带中间” 抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为 (三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点) 带中间:使函数在中间有与渐近行