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思考题1 思考题1解答 * §5.1 特征值与特征向量 一. 定义 第五章 相似矩阵与二次型 §5.1 特征值与特征向量 ? A? = ?? n阶方阵 非零向量 特征值(eigenvalue) 特征向量(eigenvector) 对应 ? “Eigen” is German for “characteristic of” or “peculiar to”; some authors call these characteristic values and vectors. No authors call them “peculiar”. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第五章 相似矩阵与二次型 §5.1 特征值与特征向量 ? A? = ?? (?E–A)? = 0 |?E–A| = 0 特征方程 (characteristic equation) |?E–A| = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 特征多项式 (characteristic polynomial) ?E–A 特征矩阵 特征值 特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义（特征子空间） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二. 计算 第五章 相似矩阵与二次型 § 5.1特征值与特征向量 ? 定理1. (1) ?0为A的特征值 ? |?0E–A| = 0. (2) ?为A的对应于?0特征向量 ? (?0E–A)? = 0. 1. 理论依据 2. 步骤 计算|?E–A| 求|?E–A| = 0的根 求(?E–A)x = 0的基础解系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 解: 所以A的特征值为?1=2, ?2=4. 解之得 A的对应于?1=2的特征向量为 对于?1=2, (2E–A)x = 0 即 3 ?1 ?1 3 |?E–A| = ?–3 1 1 ?–3 = (?–2)(?–4). ?x1 + x2 = 0 x1 ? x2 = 0 x1 x2 = k 1 1 (0 ? k ? R). k k (0?k?R). 第五章 相似矩阵与二次型 § 5.1特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 解: 所以A的特征值为?1=2, ?2=4. 解之得 A的对应于?2=4的特征向量为 对于?2=4, (4E–A)x = 0 即 3 ?1 ?1 3 |?E–A| = ?–3 1 1 ?–3 = (?–2)(?–4). x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 x1 x2 = k 1 ?1 (0 ? k ? R). k ?k (0?k?R). 第五章 相似矩阵与二次型 § 5.1特征值与特征向量 ? Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 解: |?E–A| = (?–2)(?–1)2. 所以A的特征值为?1=2, ?2= ?
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