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解： 两部分通过孔交换分子，故稳恒状态下两部分分子数守恒。 （1）当 时，孔处几乎不发生碰撞，作用力等于零，此时不涉及压强的概念。分子交换通过零星泄露实现，交换速度等于撞击频率，所以： （2）当 时，孔处频繁发生碰撞，已涉及宏观受力（压强的概念），分子交换通过气体宏观流动实现： （2）试用球形容器推导平衡状态下理想气体的压强及温度的表达式。 由于器壁法线总是指向球心，故该分子与器壁的碰撞点始终处于同一过球心的圆。于是该分子在与器壁连续两次碰撞期间行程为 解： 设某分子从壁上某处开始碰撞旅程，其速度方向与器壁上即将被碰撞处的法线方向的夹角为 ，则由弹性碰撞假设知，其反射角亦为 该分子与器壁的碰撞频率为 每次碰撞给器壁的冲量为 故器壁压强为： 下略。 （3）试推导理想气体的麦克斯韦动能分布，并求最概然动能。 解： 准确理解 等物理量的含义。 根据分布（概率）函数的定义： 对于最概然动能，有： （4）用麦克斯韦速率分布证明理想气体单位时间与单位面积器壁的碰撞次数为 现在考虑 对应的分子数密度。三维空间的总立体角为： 那些速度与 轴夹角 的分子可以碰撞该方向器壁，条件是单位时间内可以到达器壁。即对速率为 ，速度与 轴夹角 的分子而言，其距离器壁的最大距离为 。进一步，对于速度与 轴夹角 的所有分子，其距离器壁的平均最大距离为 。 证明：由气体动理论的基本假设，知由任一点出发的分子，在任一单位立体角内的数目相等，平均速率也相等，并等于整个容器内分子的平均速率。 现设器壁处于 轴方向，可建立球坐标系。 对应的立体角为： 故其对应的分子数密度： 于是，单位时间单位面积的碰撞次数为： （5）在大气中有一个封闭的绝热箱。开始时箱内有 摩尔温度为 、压强为 的空气，箱外空气的温度和压强分别为 、 。若在箱上开一小孔，则箱外空气缓慢流入箱内。试求箱内外压强相等时箱内气体的温度。 解： 做功的计算方法： 设有 摩尔的空气被等压地压入绝热箱。可设想存在一个容器，存有该空气，容器内的气压始终等于箱外空气的气压。现在缓慢压缩该容器，把空气压入绝热箱，直至其体积为零。显然，在此缓慢过程中，做功的箱外空气压强始终等于 。 因此，外界做功： 其中 为这些空气在大气下的体积： 故： 由于是绝热过程，这些功都转化为 的空气内能，其中两部分空气的温度变化相等： 另外，根据理想气体状态方程： 解得： （6）一个绝热活塞将两端封闭的绝热气缸分成A、B两部分，装有等量的状态相同的单原子理想气体。现缓慢加热A部分，使B部分气体压强增为3倍。求传给A中气体的热量。 解： 以整个气缸为系统： 其中两部分初始状态相同、终态压强相等： 所以： 由此可求两部分的温度： （7）图1。一端封闭的薄壁圆柱形浮沉子，开口端向下插入密度为 的恒温液体中，被液体封住少量气体。当外部空气压强为 时，浮沉子正好悬浮在液体中，且其封闭端恰好与液面相平。现突然将外部空气压强增加到 。求浮沉子下降到深度 时的速度。 初始时刻，浮力与重力平衡： 在 处，浮沉子内压强及温度（薄壁）均与外界相等： 解：一个力学题 此时，浮沉子所受净外力为： 根据功能原理： （8）将压强为 的空气等温压缩进肥皂泡内，最后吹至半径 。设肥皂泡的表面张力系数 。（提示：内能＝内势能＝ ；表面张力产生的压强 ）。求吹成此泡所做的功。 其中第一部分： 第二部分包含内外两个表面： 所以： 解： 该功包含两部分，即将空气等温压缩所做的功和肥皂泡内能的增加。 （9）图2。一个作如图循环的卡诺热机，若分别采用1 单原子理想气体和1 双原子理想气体，求其完成一个循环的对外做功之比。 解： 卡诺循环的基本特点是两个绝热过程净做功为零，四个终态的体积间有比例关系： 对于绝热过程： 所以： （10）一个可逆热机工作时的最高温度为 、最低温度为 。证明其效率不大于卡诺热机。 证明： 在 图上，以 的极值为边界作一个矩形。则该矩形为卡诺循环。 热机效率： 对于卡诺热机： 其中小写的s表示图形的面积。