浅谈无穷级数的求和概要.doc

四 川 农 业 大 学 高等数学课程论文 题 目：浅谈无穷级数的求和 姓 名： 聂 瑶 学 院： 管理学院 专 业： 工商201501 学 号： 二○一六年六月一日 浅谈无穷级数的求和 中国成都 聂瑶 四川农业大学 中国成都 610000 摘要：本文介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和这几种方法求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用。 关键词: 级数; 求和; 幂级数; 傅里叶级数 Abstract：In this paper, we discuss the methods of the summation substraction by partition terms or misplace, differentiation term by term, integration term by term and the summation of the special series. Some examples are illustrated to the applications of these methods. Keywords: series; summation; power series; Fourier series 目 录 摘 要 I 0 引言 1 裂项相消法 1 2 错位相减法 3 3 逐项微分法 4 4 逐项积分法 6 5 运用特殊级数的和求和法 8 参考文献 12 0 引言 无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分. 它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具. 众所周知, 收敛级数都有和, 然而求出收敛级数的和常常是较困难的. 因此, 本文将讨论运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和来求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用. 为行文的简洁, 本文中未特别申明的符号与文献[1]一致. 1、裂项相消法 设, , 则的部分和为 . 若 , 则 . 也就是说的和为 . 我们称上述求级数和的方法为裂项相消法. 利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明. 例1 求无穷级数的和. 解 因为 , 所以 , 于是 . 所以 . 如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法. 例2 求级数 的和. 解 先考虑变换问题的数学形式, 由 , 联想到正切的差角公式 , 再设 , 则原级数的部分和为 所以 . 如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法. 例3 求和. 解 先对通项分母中的和式进行有理化, 得 , 于是, 有 , 所以 . 2、错位相减法 设为等差数列, 公差为, 为等比数列, 公比为, 则称为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法. 事实上, 设 , (1) 两边同时乘以公比得 , 即 , (2) (5)式减去(6)式得 , . 我们这种求级数和的方法为错位相减法. 例4 求级数的和. 解 因为 , (3) , (4) (7)式减去(8)得 , 即 , 于是 , 所以 , 故 . 3、逐项微分法 定理 若在上, 的每一项都具有连续导数一致收敛于, 又收敛于, 则, 即 , 且一致收敛于. 这定理说明了和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要注意的是, 仅仅在条件“一致收敛”之下, 即使存在且连续, 也不能保证和号同求导数号可以交换. 例5 求级数的和. 解 令, 在收敛域内逐项微分, 得 . 注意到, 所以 , 于是当时, 有 . 例6 求级数. 解 令 , 逐项求导得 , 所以 . 因为级数在处收敛, 所以 , 即 . 例7 求级数的和函数. 解 , 令 , , 所以 , , . 例8 求幂级数的和. 解 在 上对逐项求导, 可知 , . 由此可得 . 在这两端乘以 , 我们有 , 解得 . 4、逐项积分法 定理2 设在上一致收敛于, 并且每一都在上连续,