弟4节矩阵秩与矩阵的等价标准形.pptVIP

第二章 矩阵理论基础 §2.5 矩阵分块法 §2.3 可逆矩阵 §2.2 n阶(方阵的)行列式 §2.1 矩阵的运算 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 主要内容：一、秩的定义； 四、一些重要的性质 二、秩的求法； §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 三、矩阵的等价标准形 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例如 等等, 它们都是二阶子式. 等等, 它们都是三阶子式. 每一个元素都是一阶子式. 1、k阶子式： 说明：1） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　　如果矩阵Ａ中有一个不为零的ｒ阶子式，且所有ｒ＋１阶的子式（如果存在的话）全等于零, 称ｒ为A的秩, 记为r(A)＝ｒ. 例如 2、矩阵的秩： 规定:零矩阵的秩是零. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 回答下面问题： (2) m×n 的矩阵 A , 其秩最大可能是? r(A)≤min(m, n) (3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是? r(A)≥r (4) 如果A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 有没有 r + 2 阶不为零的子式？ 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, A 的秩最大可能是 多少? (5) r(A) = r(AT) (6) A为 n 可逆矩阵的充要条件是 r(A) = r(A) = r(AT) n (7) A = O 的充要条件是 r(A) = 0 r -1 (1) 矩阵的秩是否惟一? 当然惟一 没有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 初等变换不改变矩阵的秩。 二、秩的求法： 例1. 求下列矩阵的秩 解: 而４阶子式不存在 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 秩的基本定理又可叙述为: r (P m A m×n Q n ) = r (A) (其中 P，Q 是可逆矩阵) 注：该定理回答了矩阵标准形 中 r 是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。 阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！ 由以上例子说明: 于是得到求秩的方法： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (P68 例5) 求矩阵 A 的秩 建议只用行变换 阶梯形不唯一 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三.矩阵的等价标准形 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004