弟3节酉相似对角化.pptVIP

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2017-04-09 发布于四川
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弟3节酉相似对角化.ppt

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1、正规矩阵定义：下列类型的矩阵都是正规矩阵：实对称矩阵 AT=A; 反实对称矩阵 AT=-A; 正交矩阵 AT=A-1; 酉矩阵 AH=A-1; Hermite矩阵 AH=A; 反Hermite矩阵 AH=-A; 对角矩阵满足第三节正规矩阵与酉对角化 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2、酉相似 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3、Schur 定理（1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Schur 定理（2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理正规上三角矩阵是对角矩阵证明设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 比较等式两边，可得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明必要性 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 充分性由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 正规矩阵的性质： 1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量； 2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的； 3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解显然A满足求得对应的线性无关特征向量例1 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化即A是Hermite矩阵，从而是正规阵由得A的特征值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即酉变换矩阵为则经过验证它们两两正交。因此，只需将它们单位化得：实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向量相互正交。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 正定矩阵如果对于任意非0的向量X，成立 f (X)=XHAX 0 则称二次型f (X)是正定二次型，称A为正定矩阵. 定理设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价（1） A是正定矩阵。（2） A与单位矩阵合同。（3） A的n个特征值全是正数。（4） A=QHQ，Q是可逆矩阵。（5）