线面平行-面面平行.docVIP

9．2 线面平行、面面平行1．掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系； 2．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题. 3．能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行”之间的相互转化. 二．建构知识网络 1．直线和平面的位置关系有： （1）直线在平面内； （2）直线和平面相交； （3）直线和平面平行： 定义——． 2．线面平行的判定方法： ①a∩α=ф?a∥α(定义法) ②判定定理； ③b⊥a, b⊥α, a???a∥α； ④?∥?,a?? ?a∥? ⑤空间向量证线面平行. 3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 4．判定平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线. 5．平行平面的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”. ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”. ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等. ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行. 三、双基题目练练手 1．（2006重庆）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与 （ ） A．平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2．一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 （ ） A 异面 B 平行 C 相交 D 不能确定 3．(2005广东)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： ①若,则l与m不共面； ②若m、l是异面直线， ； ③若； ④若l∩m=点A,l//β, 其中为假命题的是 （ ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如果,AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段，AB⊥CD，且AB＝2，直线AB与平面α成300角，那么线段CD的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5．设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________. 6．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. ◆答案提示：1-4.CBCD; 5. ; 6. 面ABC、平面ABD 四、经典例题做一做 【例1】：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点. 证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ,∵b∥α,b?平面ABN,平面ABN∩α=OQ, ∴b∥OQ，又O为AB的中点， ∴Q为AN的中点. ∵a∥α，a?平面AMN且平面AMN∩α=PQ ∴a∥PQ. ∴P为MN的中点. 【例2】如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形. (1)求证：CD∥平面EFGH. (2)求异面直线AB、CD所成的角. (3)若AB＝a，CD=b， 求截面EFGH面积的最大值. （1）证明：∵截面EFGH是一个矩形， ∴EF∥GH， 又GH?平面BCD. ∴EF∥面BCD，而EF?面ACD， 面ACD∩面BCD=CD. ∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH. （2）解：由（1）知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.易得∠EFG=90?.（3）答案：ab/4 ◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行?线面平行”. 【例3】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. （1）求证：直线MN∥平面PBC； （2）求直线MN与平面ABCD所成的角 证明（1）：∵P—ABCD是正四棱锥， ∴ABCD是正方形.连结AN并延长交 BC于点E，连结PE. ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA， ∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内， ∴MN∥平面PBC. 解（2）：由（1）知MN∥PE， ∴求MN与平面ABCD所成的角即可. 作PO⊥面ABCD于O，连结OE，则∠PEO为PE与平面