线性代数技巧行列式计算方法.docVIP

计算n阶行列式的若干方法举例 n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 . 该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于，故 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即 故行列式Dn可表示为 由行列式的性质 当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得 4．降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 例4 计算n阶行列式 解 将Dn按第1行展开 . 5．递推公式法 递推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为递推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。 例5 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得 6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式 解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式 计算阶行列式 ． 其中． 解 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即 7．加边法（升阶法） 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 例7 计算n阶行列式 解： （箭形行列式） 计算n（n≥2）阶行列式 ， 其中． 解 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式： ． 显然，．将的第一行乘以后加到其余各行，得 ． 因，将上面这个行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得： 故 8．数学归纳法 例8 计算n阶行列式 解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得 由此，对任意的正整数n，有 9．拆开法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。 例9 计算行列式 解： …… 计算n（n≥2）阶行列式 ． 解 将按第一列拆成两个行列式的和，即 ． 再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到 当n≥3时，． 当时，． 上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。 第1讲 计算行列式的若干基本方法 计算行列式并无固定的方法．其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式．这一讲，我们将介绍一些常用的方法． 化为已经熟悉的行列式来计算 我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如 ， 的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值． 为了叙述简便，仍用记号表示互换行列式的第i行（列）与第j行（列）；用表示将行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示将第i行（列）乘以非零的数c． 例1 计算行列式 ． 解 这是一个阶数不高的数值